Exercice 07-10
(Cet exercice est facultatif)
Soit \((a_n)\) une suite pour laquelle les deux limites ci-dessous existent:
\[
L_1=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,,\qquad
L_2=\lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\,.
\]
Montrer que \(L_1=L_2\).
Remarquons que
- \(L_1\) est la limite considérée dans le critère de Cauchy (\(L_1=\sigma\)),
- \(L_2\) est la limite considérée dans le critère de d'Alembert (\(L_2=\rho\)).
Cet exercice a donc pour but de montrer qu'une suite satisfait au critère de
Cauchy (\(\sigma\lt 1\))
si et seulement si elle satisfait au critère de d'Alembert (\(\rho\lt 1\)).
On pourra s'inspirer des manipulations faites dans la preuve du
critère de d'Alembert pour les suites.
Pour commencer.
Prendre la définition de \(L_2\) et la rendre explicite à l'aide d'un
\(\varepsilon\gt 0\) et d'un \(N\).
Ensuite,
l'utiliser pour obtenir
\[
(L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant
|a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
Pour finir,
prendre la racine \(n\)ème dans la dernière expression, puis faire \(n\to
\infty\).
Soit \(\varepsilon\gt 0\), et \(N\) tel que
\[ L_2-\varepsilon\leqslant
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|
\leqslant L_2+\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
De cette dernière, on tire que
\[
(L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant
|a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,,
\]
et donc
\[
(L_2-\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\leqslant
\sqrt[n]{|a_n|}\leqslant (L_2+\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\qquad \forall n\geqslant N\,,
\]
En prenant \(n\to\infty\), on obtient
\[ L_2-\varepsilon\leqslant L_1\leqslant L_2+\varepsilon\,.
\]
Comme ces inégalités sont vérifiées pour tout \(\varepsilon\gt 0\), ceci montre que
\(L_1=L_2\).