Vue comme une suite réelle, étant monotone et bornée, la suite possède une limite: \[\lim_{n\to \infty} a_n=L\,.\] Intuitivement, puisque chaque \(a_n\) est un entier, cela doit impliquer que \(L\) est un entier, et que \(a_n=L\) pour tout \(n\) suffisamment grand.

Rendons l'argument rigoureux, comme suit:

On commence par utiliser la définition de limite. Comme \(a_n\to L\), prenons \(0<\varepsilon<\frac12\), et \(N\) un entier tel que \(a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N\). Puisque l'intervalle \([L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) a longueur \(2\varepsilon\lt 1\), il ne peut contenir qu'un seul entier, et puisque \(a_n\) est entier pour tout \(n\), cela signifie que pour tout \(n\geqslant N\), \(a_n\) est nécessairement égal à cet entier. La suite est donc constante à partir de \(N\), et cette constante ne peut être que \(L\in \mathbb{Z}\).