Remarquons d'abord que \(\alpha n^2+\beta n\to \infty\) et \(\delta n^2+\gamma n\to \infty\), quelles que soient les valeurs des paramètres, et donc la limite de \(a_n\) est toujours une indétermination du type ''\(\infty-\infty\)''.

Divisons et multiplions par le conjugué, et extrayons le terme dominant du dénominateur: \[ a_n =\frac{(\alpha-\delta)n^2+(\beta-\gamma)n}{\sqrt{\alpha n^2+\beta n} +\sqrt{\delta n^2+\gamma n}} =\frac{(\alpha-\delta)n^2+(\beta-\gamma)n}{n\bigl( \sqrt{\alpha +\frac{\beta}{n}} +\sqrt{\delta+\frac{\gamma}{n}}\bigr)} \] Le terme dominant du dénominateur est \(n\). Au numérateur, cela dépend de \(\alpha-\delta\):

• Si \(\alpha=\delta\), alors le terme dominant est \((\beta-\gamma)n\), et donc \[ \lim_{n\to \infty} a_n =\frac{\beta-\gamma}{\sqrt{\alpha}+\sqrt{\delta}} =\frac{\beta-\gamma}{2\sqrt{\alpha}}\,. \]
• Si \(\alpha\neq \delta\), alors le terme dominant est \((\alpha-\delta)n^2\), et donc \[ \lim_{n\to \infty} a_n= \begin{cases} +\infty&\text{ si }\alpha>\delta\,,\\ -\infty&\text{ si }\alpha<\delta\,. \end{cases} \]

On a donc, pour tous \(\beta,\gamma\in\mathbb{R}\) \[ \lim_{n\to \infty} a_n= \begin{cases} +\infty&\text{ si }\alpha\gt\delta\,,\\ \frac{\beta-\gamma}{2\sqrt{\alpha}}&\text{ si }\alpha=\delta\,,\\ -\infty&\text{ si }\alpha\lt\delta\,. \end{cases} \]