Exercice 03-09
Étudier la limite \(n\to\infty\) des suites \((a_{n})\) ci-dessous, en utilisant explicitement le Théorème des deux gendarmes:
  1. \(\displaystyle a_n=\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}\)
  2. \(\displaystyle a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}\)
  3. \(\displaystyle a_n=\sqrt[n]{1+2^n}\)
Si on veut utiliser le Théorème des deux gendarmes, il faut... trouver deux gendarmes qui ont la même limite. Et pour ça, il faut déjà avoir un candidat pour la limite.

on a au numérateur quelque chose de borné, qui est divisé par quelque chose qui devient grand à mesure que \(n\) augmente.

on est en présence d'un quotient de deux nombres, \(n!\) et \(n^n\), qui deviennent grands lorsque \(n\) grandit. Mais si on regarde de près, en écrivant précisément ce que sont \(n!\) et \(n^n\), on arrive à trouver des bons gendarmes en faisant quelques majorations.

il faut d'abord deviner ce que doit être la limite...

Un argument informel pour commencer: dans la racine, le ''\(1\)'' devient négligeable par rapport à \(2^n\), donc en gros, pour \(n\) grand, \(a_n\) est à peu près égal à...

... à \(\sqrt[n]{2^n}=2\). Ceci suggère que la limite existe et vaut \(2\). Il reste à trouver deux gendarmes dont la limite commune vaut \(2\).

  1. On a, pour tout \(n\geqslant 1\), que \(-1\leqslant\cos(\sqrt{n})\leqslant +1\), donc \[-\frac{1}{n} \leqslant \frac{\cos(\sqrt{n})}{n} \leqslant\frac{1}{n}\,. \] Puisque \(\pm \frac{1}{n}\to 0\), le Théorème des deux gendarmes implique que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos(\sqrt{n})}{n}=0\,. \]
  2. On a, pour tout \(n\geqslant 2\), \[\begin{aligned} 0\leqslant a_{n}=\frac{n!}{n^{n}} &=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n}{n\cdot n\cdot n\cdots\cdot n}\\ &=\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr) \underbrace{\Bigl( \frac{2}{n}\Bigr) \Bigl( \frac{3}{n}\Bigr) \cdots\Bigl( \frac{n}{n}\Bigr)}_{\leqslant 1} \leqslant\frac{1}{n}\,, \end{aligned}\] d'où \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n}}=0\) par le théorème des deux gendarmes.
  3. D'une part, \(2^n+1>2^n\), et donc \[\sqrt[n]{1+2^n}\geqslant \sqrt[n]{2^n}=2\,.\] D'autre part, \(1\leqslant 2^n\) pour tout \(n\geqslant 0\), et donc \[\sqrt[n]{1+2^n}\leqslant \sqrt[n]{2\cdot 2^n}=2^{\frac{n+1}{n}}\,.\] On a donc \[ 2\leqslant \sqrt[n]{1+2^n}\leqslant 2^{\frac{n+1}{n}}\,, \] et comme \(\lim_{n\to\infty}2^{\frac{n+1}{n}}=2\), la limite de notre suite est \(2\).

    Remarque: Dans cette dernière limite, on a ''passé la limite dedans'', en faisant \[ \lim_{n\to\infty}2^{\frac{n+1}{n}}=2^1=2\,. \] Pour justifier ceci, nous devrons plus tard invoquer le fait suivant: la fonction \(x\mapsto 2^x\) est continue au point \(x_0=1\).