Il peut être utile de se représenter graphiquement ce que signifie
''\(s=\sup A\)''.
La définition de supremum se trouve
ici.
Pour commencer...
On pourra profiter du fait que le supremum est le
plus petit majorant pour
choisir des \(\varepsilon_1\gt 0\), \(\varepsilon_2\gt 0\), etc., toujours plus petits,
et pour chacun sélectionner un point de l'ensemble \(A\).
... ce qui graphiquement correspond à...
avoir cette image en tête:
Rappelons que par définition, on a que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe
\(x\in A\) tel que \(s-\varepsilon\leqslant x\leqslant s\). On peut donc choisir
par exemple
\(\varepsilon_1:= 1\) et considérer un \(x_1\in A\) tel que \(s-\varepsilon_1\leqslant
x_1\leqslant s\). Ensuite, on peut prendre
\(\varepsilon_2:= \frac12\) et considérer un \(x_2\in A\) tel
que \(s-\varepsilon_2\leqslant x_2\leqslant s\).
Ainsi de suite, pour tout \(n\) on pose
\(\varepsilon_n:= \frac{1}{n}\) et on considère un \(x_n\in A\) tel que
\(s-\varepsilon_n\leqslant x_n\leqslant s\). Par construction, la suite \((x_n)\) satisfait
\(|x_n-s|\leqslant \varepsilon_n\), et comme \(\varepsilon_n\to 0\), on a \(x_n\to s\).
