Exercice 03-02
Soit \((x_n)\) la suite dont le terme général est défini par \[ x_n:= \frac{an+b}{cn+d}\,, \] où \(a,b,c,d\) sont des constantes positives. Montrer que \((x_n)\) est croissante si et seulement si \(ad-bc\geqslant 0\).
La définition de suite monotone a été donnée ici.

au lieu de montrer que \(x_{n}\leqslant x_{n+1}\) pour tout \(n\), on pourra étudier le signe de \(x_{n+1}-x_n\).

Calculons: \[\begin{aligned} x_{n+1}-x_n&= \frac{a(n+1)+b}{c(n+1)+d}-\frac{an+b}{cn+d}\\ &=\frac{ad-bc}{(cn+c+d)(cn+d)}\,, \end{aligned}\] qui est \(\geqslant 0\) si et seulement si \(ad-bc\geqslant 0\). (Remarquons que tout ce qui est au dénominateur est positif.)