il n'y a à peu près aucune différence: on refait le même calcul avec des nombres
\(a,b,c,d\) quelconques.
Dans le cas particulier, commençons par étudier la différence
\[
|x_n-\tfrac23|
=\Bigl|
\tfrac{2n-3}{3n+7}-\tfrac{2}{3}
\Bigr|=
\tfrac{23}{3(3n+7)}\,.
\]
Fixons un \(\varepsilon\gt 0\). On a
\[\begin{aligned}
|x_n-\tfrac23|\leqslant \varepsilon
&\quad\Leftrightarrow\quad
\tfrac{23}{3(3n+7)}\leqslant \varepsilon\\
&\quad\Leftrightarrow\quad
n\geqslant \tfrac{1}{3}(\tfrac{23}{3\varepsilon}-7)\,.
\end{aligned}\]
Si on prend n'importe quel entier \(N\) plus grand que
\(\frac{1}{3}(\tfrac{23}{3\varepsilon}-7)\), par exemple
\[N:=\lfloor\tfrac{1}{3}(\tfrac{23}{3\varepsilon}-7)\rfloor+1\,,\]
on a bien que
\(|x_n-\frac23|\leqslant \varepsilon\)
pour tout \(n\geqslant N\). Ceci montre donc bien que
\(x_n\to \frac23\).
En préparation, étudions la différence
\[\begin{aligned}
|x_n-\tfrac{a}{c}|&=
\Bigl|
\frac{an+b}{cn+d}-\frac{a}{c}
\Bigr|\\
&=
\Bigl|
\frac{c(an+b)-a(cn+d)}{c(cn+d)}
\Bigr|\\
&= \frac{|ad-bc|}{|c(cn+d)|}
= \frac{|ad-bc|}{c} \frac{1}{cn+d}
\end{aligned}\]
Dans la dernière égalité, on a utilisé le fait que
\(|cn+d|=cn+d\) (car \(c\gt 0\), \(d\gt 0\) et \(n\geqslant 1\)).
Si maintenant on fixe \(\varepsilon\gt 0\), on
aura \(|x_n-\frac{a}{c}|\leqslant \varepsilon\) si et seulement si
\[
\frac{|ad-bc|}{c} \frac{1}{cn+d}\leqslant \varepsilon
\quad\Leftrightarrow\quad
n\geqslant \frac{1}{c}\left(
\frac{|ad-bc|}{c\varepsilon}-d
\right)\,.
\]
Ceci signifie qu'il existe \(N\) tel que
\(|x_n-\frac{a}{c}|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).