Exercice 03-08
Soit \((a_n)\) une suite réelle. Vrai ou faux?
  1. Si \((a_n)\) est croissante, alors \((a_n^2)\) est croissante.
  2. Si \((a_n)\) est bornée, alors \((a_n)\) converge.
  3. Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\), alors \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\).
  4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\) si et seulement si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=0\).
  5. Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to\infty}\big(a_n\sin(n)\big)=0\).
  6. Si \((a_n)\) converge, il existe \(\varepsilon \gt 0\) tel que \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
  7. Si \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a\), alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(|a_n-a|\leqslant \delta\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
  8. Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=M\gt 0\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+M\) ou \(\lim_{n\to\infty}a_n=-M\).
  9. Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\), et si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=L\), alors \(a_n\leqslant L\) pour tout \(n\).
  10. Si \(a_n\) est décroissante et \(b_n\to 0\), alors \(a_nb_n\) est décroissante.
Rappelons que si l'affirmation est VRAIE, on doit pouvoir la démontrer à l'aide de ce qui a été vu au cours. Si elle est FAUSSE, on doit pouvoir exhiber un contre-exemple.
  1. FAUX. Par exemple, \(a_n=-\frac1n\) est croissante, mais \(a_n^2=\frac{1}{n^2}\) est décroissante. On a par contre le résultat suivant: si \((a_n)\) est croissante et si tous ses termes sont \(a_n\geqslant 0\), alors \((a_n^2)\) est aussi croissante. (Pouvez-vous le prouver?)
  2. FAUX. Prendre par exemple \(a_n=(-1)^n\) pour tout \(n \geqslant 0\), qui est bornée mais divergente.
  3. FAUX. Le sens précis de ''\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)'' est que pour tout \(\varepsilon\gt 0\), on a \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tous les \(n\) suffisamment grands, dans le sens suivant: il existe un entier \(N\) (qui dépend de \(\varepsilon\)) tel que \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tous les \(n\geqslant N\). (Par contre, on ne sait pas si \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour les \(n\lt N\)!) (Rappelons aussi que si \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\), alors \(a_n=0\).)
  4. VRAI. En effet, si \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) alors pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(N\) tel que \(|a_n-0|=|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\). Ceci est équivalent à dire que la suite \((|a_n|)_n\) tend vers zéro. Inversément, si \((|a_n|)_n\) tend vers zéro, comme on peut toujours écrire que \[ -|a_n|\leqslant a_n\leqslant |a_n|\,, \] le Théorème des deux gendarmes implique que \((a_n)_n\) tend aussi vers zéro.
  5. VRAI. Comme \(|\sin(n)| \leqslant 1\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on sait que le produit d'une suite qui tend vers zéro par une suite bornée tend vers zéro, donc \(\lim_{n \to\infty}(a_n \sin(n))=0\).
  6. VRAI. Comme \((a_n)\) converge, elle est bornée, donc il existe \(M\) tel que \(|a_n|\leqslant M\) pour tout \(n\). On peut donc prendre \(\varepsilon=M\).
  7. VRAI. Si \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\), alors \(\lim_{n\to\infty}(a_n-a)=0\). Ainsi la suite \(b_n=a_n-a\) est bornée.
  8. FAUX. En effet, si \(\lim_{n\to\infty}|a_n|\) existe et vaut \(M\gt 0\), cela n'implique même pas l'existence de \(\lim_{n\to\infty}a_n\). Par exemple, avec \(a_n=(-1)^n\), on a que \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=1\), alors que \(a_n\) n'a pas de limite.
  9. FAUX. Comme contre-exemple, prenons \(a_n=\frac{1}{n^2}\), \(b_n=\frac1n\). On a bien \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\), mais \(b_n\to 0\), alors que \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\geqslant 1\).
  10. FAUX. Contre-exemple: \(a_n=-n\) (décroissante), \(b_n=-\frac{1}{\sqrt{n}}\) (tend vers zéro), mais \(a_nb_n=\sqrt{n}\), qui est croissante. On peut également construire des contre-exemples pour lesquels \(a_nb_n\) n'est pas monotone. \(\)