1. Pour tout entier \(p\gt 0\) fixé, en multipliant et divisant par le conjugué, \[\begin{aligned} |a_{n+p}-a_n|=|\sqrt{n+p}-\sqrt{n}| &=\frac{p}{\sqrt{n+p}+\sqrt{n}}\\ &\leqslant\frac{p}{2\sqrt{n}}\,, \end{aligned}\] et donc \[ \lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0\,. \]
2. Pourtant, \(a_n=\sqrt{n}\to \infty\), donc \(a_n\) est divergente, donc ce n'est pas une suite de Cauchy. (Car dans \(\mathbb{R}\), une suite est de Cauchy si et seulement si elle converge.)

Cet exemple montre bien que dans la définition de suite de Cauchy, \(|a_n-a_m|\) doit devenir petit lorsque \(m\) et \(n\) deviennent grands, mais ils n'ont pas besoin d'être à distance fixe: \(|m-n|\) peut être arbitrairement grand. Or ci-dessus, lorsqu'on a montré que \(|a_n-a_{n+p}|\to 0\), on a en fait considéré un \(m=n+p\) qui est à distance fixe de \(n\), puisque \(|m-n|=p\). Or deux points sur le graphe de la suite \(a_n=\sqrt{n}\), à distance horizontale fixe \(p\), ont des hauteurs de plus en plus proches, même si ces hauteurs deviennent grandes lorsque les deux points s'éloignent de l'origine: