Exercice 07-05
Parmi les séries ci-dessous, lesquelles convergent absolument?
  1. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \frac{(-5)^n}{(2n)!}\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n-|n^2-1|}{3n^2-n+4}\)
  3. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \frac{\sin(\frac{9\pi}{7}n)}{\sqrt[3]{3n^5+1}}\)
  4. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}e^{-n}\sin(7n)\)
On a deux critères qui lorsqu'ils s'appliquent garantissent la convergence absolue d'une série \(\sum_na_n\): celui de d'Alembert et celui de Cauchy.

Mais pas toutes les séries se prêtent bien à l'utilisation de ces critères, donc passer directement par une estimation de \(|a_n|\) est parfois plus pratique.
On utilise toujours \(a_n\) pour parler du terme général de la série donnée.
  1. Calculons \[\begin{aligned} \rho &=\lim_{n\to \infty}\Bigl| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|\\ &=\lim_{n\to \infty}\Bigl| \frac{(-5)^{n+1}/(2(n+1))!}{(-5)^n/(2n)!} \Bigr|\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{5}{(2n+2)(2n+1)}=0\,. \end{aligned}\] Par le critère de d'Alembert, la série converge absolument.
  2. Puisque \[ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n-|n^2-1|}{3n^2-n+4}=-\frac{1}{3}\neq 0\,, \] la deuxième ne converge pas puisque son terme général ne tend pas vers zéro. Et donc elle ne converge pas absolument non plus.
  3. On peut majorer \[0\leqslant |a_n|\leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{3n^5+1}} \leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{3n^5}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\frac{1}{n^{5/3}}\,. \] Puisque la série \(\sum_n\frac{1}{n^{5/3}}\) converge (car \(p=5/3>1\)), la série donnée converge absolument.
  4. Puisque \[ |a_n|=e^{-n}|\sin(7n)|\leqslant e^{-n}=\left(\frac{1}{e}\right)^n\,, \] et puisque \(\sum_{n=0}e^{-n}\) est convergente (série géométrique de raison \(\frac1e\lt 1\)), la série \(\sum_{n\geqslant 0}a_n\) converge absolument.