Exercice 06-08
Parmi les séries ci-dessous, lesquelles convergent?
  1. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^{1000}}\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n-1)!}{n!}\)
  3. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}e^{-0.001n}\)
  4. \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{e^{2\log n}}\)
On a ici des séries dont la convergence/divergence se déduit sans aucun calcul, uniquement par la compréhension du début de la théorie sur les séries, et des exemples vu dans le cours.

Se rappeler que \(e^{\log (x)}=x\) pour tout \(x\gt 0\).

  1. Le terme général \(a_n=\frac{1}{2^{1000}}\) a beau être un nombre constant très petit, il n'en est pas moins strictement positif. Donc la série diverge.

    Si on veut être plus précis: la \(n\)ème somme partielle de cette série est \[\begin{aligned} s_n &=a_1+a_2+\cdots +a_n\\ &= \frac{1}{2^{1000}}+ \frac{1}{2^{1000}}+ \cdots \frac{1}{2^{1000}}=\frac{n}{2^{1000}}\,, \end{aligned}\] et donc \(s_n\to+\infty\) quand \(n\to\infty\).
  2. Le terme général \(a_n=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n\) est celui de la série harmonique, qui diverge.
  3. C'est une série géométrique de raison \(r=e^{-0.001}\lt 1\), donc elle converge.
  4. Le terme général peut s'écrire comme suit: \[ a_n=\frac{1}{e^{2\log n}}=\frac{1}{(e^{\log n})^2}=\frac{1}{n^2}\,, \] et on a vu que la série corresondante converge.