Exercice 07-08
Étudier la convergence des séries données ci-dessous.
- \(\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots\)
- \(\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{4}{3\cdot 2}+\frac{5}{4\cdot
3}+\frac{6}{5\cdot 4}+\dots\)
- \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots\)
- \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot
4}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}+\cdots\)
Dans chaque cas, on mettra la série donnée sous la forme
\(\sum_{n\geqslant n_0}a_n\), en
donnant le terme général \(a_n\) et l'indice \(n_0\) à partir duquel la série
commence. Ensuite, on déterminera si la série converge ou diverge.
- Écrivons
\[
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\dots
=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{(2n-1)^2}\,.
\]
Si on pose \(b_n=\frac{1}{n^2}\), alors
\[ \alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac14>0\,. \]
Par le critère de la limite du quotient, puisque \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) converge,
\(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge aussi.
- Écrivons
\[
\frac{3}{2}+\frac{4}{3\cdot 2}+\frac{5}{4\cdot
3}+\frac{6}{5\cdot 4}+\dots=\sum_{n\geqslant 1}\frac{n+2}{(n+1)n}\,.
\]
On peut remarquer que
\[a_n=\frac{n+2}{n+1}\cdot \frac{1}{n}\geqslant \frac{1}{n}=b_n\,,\]
qui est le terme
général de la série harmonique. Comme celle-ci diverge, on a aussi
\(\sum_{n\geqslant 1}a_n=+\infty\).
- Écrivons
\[
\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots
=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\,.
\]
Ici aussi, avec \(b_n=\frac{1}{n^2}\), on obtient
\[\alpha=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac14>0\,,\]
et donc \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge.
- Écrivons
\[\begin{aligned}
\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}
+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}
&+\frac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}+\cdots \\
=&\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\,.
\end{aligned}\]
Comme
\[0\leqslant a_n\leqslant \frac{1}{n\cdot n\cdot n\cdot n}=\frac{1}{n^4}=:b_n\,,\]
et comme
\(\sum_nb_n\) converge, \(\sum_na_n\) converge aussi.