Exercice 07-02
Étudier la convergence des séries suivantes.
  1. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3n+2}{4n+5})^{n}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ( \sqrt{n^{2}+7}-n)\)
  3. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (1-\cos(\tfrac{\pi}{n+1}))\)
  4. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \bigl(1-\tfrac2n\bigr)^{n^2}\)
  5. \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bigl(\tfrac12+\tfrac{(-1)^n}{4} \bigr)^n\)
  6. \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{n^{2n}}\)
  7. \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
On a tout un atirail de techniques à disposition pour étudier la convergence d'une série donnée: Les séries ''de référence'', celles avec lesquelles on espère le plus pouvoir faire une comparaison, sont les séries du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\), et les séries géométriques.

Pour une série donnée, personne ne vous dit quel critère vous devez utiliser. Comme j'ai expliqué au cours, l'allure du terme général suggère souvent de lui-même quel critère peut avoir des chances de fonctionner. À vous de voir!

\[ \sin(x)^2=\frac{1-\cos(2x)}{2}\,. \]

Après avoir sélectionné un certain critère (il y en a un qui saute aux yeux étant donné l'allure de ce terme général), on pourra utiliser cette égalité: \[\begin{aligned} 1-\frac{2}{n} &=\frac{n-2}{n}\\ &=\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}\\ &=\frac{1}{\frac{n-1}{n-2}}\cdot\frac{1}{\frac{n}{n-1}}\\ &=\frac{1}{1+\frac{1}{n-2}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}} \end{aligned}\]

Si j'ai une puissance \(n^2\), il est clair que prendre une racine \(n\)ème est intéressant.

Majorer \(|a_n|\).

  1. Par le critère de Cauchy, la série converge (absolument), car \[ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{3n+2}{4n+5}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+5}=\frac{3}{4} \lt 1. \]
  2. On a \[\begin{aligned} a_n&=\sqrt{n^{2}+7}-n\\ &= \frac{(\sqrt{n^{2}+7}-n)(\sqrt {n^{2}+7}+n)}{\sqrt{n^{2}+7}+n}\\ &= \frac{7}{\sqrt{n^{2}+7}+n}\,. \end{aligned}\] On peut conclure de plusieurs façons. Par exemple, on peut observer que lorsque \(n\) est grand, le dénominateur est régi par la présence de \(n\). On peut donc définir \(b_n:= \frac{1}{n}\), et calculer \[\begin{aligned} \alpha &=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{7n}{\sqrt{n^2+7}+n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{7}{\sqrt{1+\frac{7}{n^2}}+1} =\frac72\gt 0\,. \end{aligned}\] Comme \(a_n\gt 0\) et \(b_n\gt 0\) pour tout \(n\), et comme \(\sum_nb_n\) diverge (c'est la série harmonique), on conclut par le critère de la limite du quotient que \(\sum_na_n\) diverge aussi.

    On aurait aussi pu remarquer, plus simplement, que \(n^2+7 \lt (n+1)^2\) pour tout \(n\gt 3\), et donc \[ \frac{7}{\sqrt{n^{2}+7}+n} \gt \frac{7}{\sqrt{(n+1)^{2}}+n}\gt \frac{7}{3n}\,. \] Comme \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{3n} = \frac{7}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) diverge, la série initiale diverge aussi par le critère de comparaison.
  3. Remarquons que \[ a_n= 1-\cos(\tfrac{\pi}{n+1})= 2\bigl(\sin( \tfrac{\pi}{2(n+1)})\bigr)^2\,. \] (Voir ici pour la dérivation de cette formule.)

    On peut poser \(b_n=(\frac{\pi}{2(n+1)})^2\), remarquer que \[ \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=2\gt 0\,, \] et conclure que \(\sum_na_n\) converge puisque \(\sum_nb_n\) converge.

    (On aurait aussi pu utiliser l'inégalité \(\sin(x) \leqslant x\) pour \(x\geqslant 0\), et donc directement comparer \(0\leqslant a_n\leqslant 2 b_n\).)
  4. Soit \(a_n=\bigl(1-\tfrac2n\bigr)^{n^2}\). Calculons \[\begin{aligned} \sqrt[n]{|a_n|}=\Bigl(1- \frac{2}{n} \Bigr)^n &= \Bigl( \frac{n-2}{n} \Bigr)^n\\ &= \Bigl( \frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n-1} \Bigr)^n\\ &= \Bigl( \frac{n-1}{n} \Bigr)^n \Bigl( \frac{n-2}{n-1} \Bigr)^n\\ &= \frac{1}{(\frac{n}{n-1})^n} \frac{1}{(\frac{n-1}{n-2})^n}\\ &= \frac{1}{(\frac{n-1+1}{n-1})^n} \frac{1}{(\frac{n-2+1}{n-2})^n}\\ &= \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^n} \frac{1}{(1+\frac{1}{n-2})^n}\,. \end{aligned}\] Ceci implique que \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^n} \frac{1}{(1+\frac{1}{n-2})^n}\\ &= \frac{1}{e}\cdot \frac{1}{e}= e^{-2}=0.135\dots\lt 1\,. \end{aligned}\] Donc, par le critère de Cauchy, \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge absolument, donc converge. (En fait tous ses termes sont positifs donc la convergence absolue est équivalente à la convergence normale.)
  5. Remarquons que \[ |a_n| =\left|\frac12+\frac{(-1)^n}{4}\right|^n \leqslant \left(\frac34\right)^n\,. \] Comme \(\sum_n(\frac34)^n\) est convergente, le critère de comparaison implique que la série converge \(\sum_na_n\) converge absolument. Donc elle converge.
  6. Puisque \[ \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{(n+1)!^2}{n!^2}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}}\Bigr|\\ =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{((1+\frac1n)^n)^2}=\frac{1}{e^2}\lt 1\,, \] le critère de d'Alembert assure que la série converge. (Le critère assure que la série converge absolument, mais puisque tous ses termes sont positifs cela signifie qu'elle converge.)

    On aurait aussi pu remarquer que \[\begin{aligned} 0\leqslant a_n &=\frac{(n!)^2}{n^{2n}}\\ &=\frac{(n!)^2}{(n^2)^n}\\ &=\frac{1^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdots (n-1)^2\cdot n^2}{n^2\cdot n^2\cdots n^2\cdot n^2}\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{2^2\cdot 3^2\cdots (n-1)^2\cdot n^2}{n^2\cdots n^2\cdot n^2}\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot \underbrace{ \frac{2^2}{n^2}\cdot \frac{3^2}{n^2}\cdots \cdots\frac{(n-1)^2}{n^2}\frac{n^2}{n^2} }_{\leqslant 1}\\ &\leqslant \frac{1}{n^2}\,. \end{aligned}\] Puisque \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge, \(\sum_na_n\) converge aussi.
  7. Avec \(a_n=\frac{n!^2}{(2n)!}\), \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!^2}{n!^2}\frac{(2n)!}{(2(n+1))!} =\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\,. \] Comme ce quotient tend vers \(\frac14\lt 1\), le critère de d'Alembert garantit que la série \(\sum_{n=0}a_n\) converge.

    Curiosité: On peut en fait montrer que la valeur de sa somme est \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} =\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}+\frac{4}{3} \]