Exercice 07-01
Étudier la convergence des séries suivantes.
  1. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^n}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{4}}{3^{n}}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3n-2}\)
  4. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos(\tfrac{1}{n^2})\)
  5. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (\tfrac1n-\tfrac{n-1}{n^2})\)
  6. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(n+4)(n-3)}{7n^{3}+n+2}\)
  7. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n}\)
  8. \(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n^{100}}{e^{3(\log(n))^2}}\)
  9. \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}\).
  10. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^{0.99999\dots}}\)
On a tout un atirail de techniques à disposition pour étudier la convergence d'une série donnée: Les séries ''de référence'', celles avec lesquelles on espère le plus pouvoir faire une comparaison, sont les séries du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\), et les séries géométriques.

Pour une série donnée, personne ne vous dit quel critère vous devez utiliser. Comme j'ai expliqué au cours, l'allure du terme général suggère souvent de lui-même quel critère peut avoir des chances de fonctionner. À vous de voir!

Quand je vois une différence de racines, j'ai envie de...

Si j'arrive à écrire le terme général d'une série comme \[ \frac{1}{n^{\alpha(n)}}\,, \] j'arrive peut-être à dire quelque chose; faut voir si \(\alpha(n)\), pour \(n\) grand, est plus grand ou plus petit que \(1\).

Ci-dessous, on utilise toujours ''\(a_n\)'' pour le terme général de la série donnée.
  1. Le plus simple est d'observer qu'on peut comparer \(a_n=\frac{1}{n+2^n}\) avec \(b_n=\frac{1}{2^n}\): \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\). Comme \(\sum_nb_n\) converge (série géométrique avec \(r=\tfrac12\)), \(\sum_na_n\) converge aussi.

    On peut aussi utiliser le critère de d'Alembert. On calcule \[ \lim_{n\to\infty} \Bigl| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|= \lim_{n\to\infty} \frac{n+2^{n}}{n+1+2^{n+1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{n}{2^n}}{2+\frac{n+1}{2^n}}=\frac12\lt 1\,, \] (pour la dernière étape, on a utilisé \(\frac{n}{2^n}\to 0\)) et donc la série converge.
  2. Par le critère de d'Alembert, la série converge (absolument), car \[ \lim_{n\to\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr| =\lim_{n\to\infty}\Bigl| \frac{(n+1)^{4}}{3n^{4}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{4}}{3n^{4}}=\frac{1}{3}\lt 1\,. \]
  3. Cette série converge par le critère de Leibniz pour les séries alternées. En effet, \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3n-2}=(-1)^nx_n\), où \(x_n=\frac{1}{3n-2}\) est décroissante et tend vers zéro.
  4. Comme \(\lim_{n\to\infty}\cos(\frac{1}{n^2})=1\neq 0\), la série diverge.
  5. Comme le terme général est en fait \[a_n =\frac{1}{n}-\frac{n-1}{n^2} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} =\frac{1}{n^2}\,,\] la série converge.

    Remarque: Il faut faire attention: Les séries \(\sum\frac{1}{n}\) et \(\sum\frac{n-1}{n^2}\) sont toutes deux divergentes, donc on ne peut surtout pas écrire ''\(\displaystyle\sum(\tfrac1n-\tfrac{n-1}{n^2}) = \sum \frac1n - \sum \frac{n-1}{n^2}\)''!

  6. Cette série diverge car \(\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+4)(n-3)}{7n^{3}+n+2}=\frac{1}{7}\neq 0\)
  7. On a, pour tout \(n\geqslant 1\), \[ 0\lt \frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n} =\frac{4}{n(\sqrt{n+4}+\sqrt{n})} \lt\frac{2}{n^{3/2}}\,. \] Par le critère de comparaison, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n}\) converge car \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}\) converge (série du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\) avec \(p\gt 1\)).
  8. Le terme général de cette suite a déjà été traité précédemment: \[ a_n= \frac{n^{100}}{e^{3(\log(n))^2}} =\frac{1}{n^{3\log(n)-100}}\,. \] Remarquons que \(3\log(n)-100\to+\infty\) lorsque \(n\to\infty\). Donc il existe en particulier un entier \(N\) tel que \(3\log(n)-100\geqslant 2\) pour tout \(n\geqslant N\), et donc \[ 0\leqslant a_n\leqslant \frac{1}{n^2}\,,\quad \forall n\geqslant N\,. \] Donc \(\sum_{n=N}^\infty a_n\) converge, et par conséquent \(\sum_{n=1}^\infty a_n\), converge.
  9. Comme \(1+\frac{(-1)^n}{2}\leqslant \frac{3}{2}\) pour tout \(n\), on a \[ a_n=\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}\geqslant \frac{2}{3n}\,, \]et comme \(\sum_{n}\frac{2}{3n}=\infty\), on a aussi \(\sum_n\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}=+\infty\).
  10. On sait que \(0.9999\dots=1\), donc la série est \(\sum_n\frac{1}{n}\), qui diverge.