Exercice 06-10
Déterminer, parmi les séries ci-dessous, celles qui convergent ou divergent, en les comparant (lorsque c'est possible) à d'autres séries connues.
  1. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{n^2+1}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{e^n+n}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\bigl(1-\tfrac{n^2}{3n^2+3}\bigr)^n\)
  4. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 2}\frac{\sqrt[3]{n^3+2n}}{n^2-1}\)
Le critère de comparaison est de loin le critère le plus utilisé puisqu'il permet d'étudier la convergence d'une série à termes positifs avec la convergence d'une autre série à termes positifs.

Et le but est de toujours pouvoir comparer les séries terme à terme. Dans les deux cas, on espère que la série \(\sum_nb_n\) est plus ''simple'', et que sa convergence/divergence se déduit à partir d'autres exemples déjà considérés.

Il faudra un certain flair, et arriver à identifier ce qui fait qu'une série donnée doit converger ou diverger (là, la connaissance des exemples de base du cours est essentielle). Ensuite, on cherchera à utiliser une bonne comparaison pour conclure.
  1. Remarquons que \[ 0\leqslant \frac{1}{n^2+1}\leqslant \frac{1}{n^2}\,\qquad \forall n\geqslant 1\,. \] Donc, puisque \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2}\) converge, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2+1}\) converge aussi.
  2. Remarquons que \[ 0 \leqslant \frac{1}{e^n+n} \leqslant \frac{1}{e^n}=\left(\frac{1}{e}\right)^n\qquad \forall n\geqslant 1\,. \] Comme \((\frac{1}{e})^n\) est le terme général d'une série géométrique de raison \(r=\frac{1}{e}\lt 1\), sa série converge, et donc \(\sum_n\frac{1}{e^n+n}\) converge aussi.
  3. Posons \(x_n:= 1-\frac{n^2}{3n^2+3}\). Puisque \(x_n\to \frac{2}{3}\), on a que pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(N\) tel que \(|x_n-\frac23|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\). En prenant \(\varepsilon=\frac16\), on a donc un \(N\) tel que \[|x_n-\frac23|\leqslant \frac16\qquad \forall n\geqslant N\,, \] ce qui signifie \(\frac12\leqslant x_n\leqslant \frac{5}{6}\), pour tout \(n\geqslant N\). Donc pour \(n\geqslant N\), le terme général de notre série peut être comparé au terme général d'une série géométrique de raison \(\frac56\): \[ 0\leqslant \left(1-\frac{n^2}{3n^2+3}\right)^n \leqslant \left(\frac56\right)^n\,. \] Donc sa série converge.
  4. En gardant les termes dominants au numérateur et au dénominateur, on peut écrire \[ a_n= \frac{\sqrt[3]{n^3+2n}}{n^2-1} \geqslant \frac{\sqrt[3]{n^3+0}}{n^2-0} =\frac{1}{n}\geqslant 0\,. \] Comme la série harmonique diverge, on conclut que la série de terme général \(a_n\) diverge aussi.