Lorsque les deux sommes sont finies, il n'y a presque rien à démontrer: \[ \sum_{k=1}^N(a_k+b_k)= \sum_{k=1}^Na_k + \sum_{k=1}^Nb_k \] Mais lorsque l'on parle de séries, on ne peut plus écrire ça. Pour s'en convaincre, on peut par exemple prendre comme termes généraux \(a_k=\frac1k\) et \(b_k=-\frac1k\). Dans ce cas, \(a_k+b_k=0\) pour tout \(k\), et donc \[ \sum_{k\geqslant 1}(a_k+b_k) \] est une série qui ne contient que des zéros, donc elle converge. Pourtant, étant toutes deux des séries harmoniques \[\sum_{k\geqslant 1}a_k=+\infty\,, \qquad \sum_{k\geqslant 1}b_k=-\infty\,. \] Donc dans ce cas, l'affirmation ''la série des \((a_k+b_k)\) est égale à la série des \(a_k\) \(+\) la série des \(b_k\)'' est fausse.

Cet exercice est donc utile parce qu'il oblige à vraiment comprendre ce que signifie converger pour une série de réels, parce qu'il ne nécessite rien d'autre que reprendre une définition.