Exercice 02-02
Montrer les propriétés ci-dessous.
  1. \(|-x|=|x|\)
  2. \(-|x|\leqslant x\leqslant |x|\)
  3. Pour toute paire \(x,y\in \mathbb{R}\), \[\begin{aligned} \max\{x,y\}&=\tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)\,,\\ \min\{x,y\}&=\tfrac12\bigl(x+y-|x-y|\bigr)\,. \end{aligned}\]
Pour rappel (voir ici), la valeur absolue de \(x\in \mathbb{R}\) est définie comme étant \[|x|:= \begin{cases} x&\text{ si }x\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,,\\ -x&\text{ si }x\lt 0\,, \end{cases} \] Pour démontrer des propriétés de la valeur absolue, il suffit de partir de la définition de \(|a|\), puis de considérer séparément les cas \(a\gt 0\), \(a=0\), \(a\lt 0\).

on pourra distinguer les cas, \(x\geqslant y\), ou \(x\lt y\), puis simplement expliciter ce qui se trouve de part et d'autre de l'identité. Par exemple, si \(x\geqslant y\), alors le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=x\).

  1. Si \(x=0\), il n'y a rien à démontrer (puisque \(|0|=0\)). Si \(x\gt 0\), alors d'une part \(|x|=x\), et d'autre part \(-x\lt 0\), ce qui implique \(|-x|=-(-x)=x\), et donc \(|-x|=|x|\). Si \(x\lt 0\), alors d'une part \(|x|=-x\), et d'autre part \(-x\gt 0\), ce qui implique \(|-x|=-x\), et donc \(|-x|=|x|\).
  2. Si \(x=0\), il n'y a rien à démontrer. Si \(x\gt 0\), alors \(x=|x|\) (qui implique \(x\leqslant |x|\)), et \(-|x|\lt 0\leqslant x\). Si \(x\lt 0\), même argument.
  3. Montrons la première identité (la deuxième se démontre de manière semblable). Il suffit d'examiner les cas possibles. Si \(x\geqslant y\), le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=x\), et le côté droit vaut \[ \tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\tfrac12\bigl(x+y+(x-y)\bigr)=\frac{2x}{2}=x\,. \] Si \(x\leqslant y\), le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=y\), et le côté droit vaut \[ \tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\tfrac12\bigl(x+y-(x-y)\bigr)=\frac{2y}{2}=y\,. \]