Exercice 02-08
Montrer que si \(n\) est un entier tel que \(n^2\) est pair, alors \(n\) est
pair.
(Cette affirmation est une des étapes dans
la preuve de l'irrationnalité de \(\sqrt{2}\).)
On peut démontrer cette affirmation
Ce qui signifie
que l'on suppose que \(n\) a un carré pair,
qu'on dit: ''Supposons que \(n\) n'est pas pair'', et qu'on regarde où cela nous
mène.
Supposons que \(n\) est un entier et que \(n^2\) est pair. Par l'absurde,
supposons que \(n\) est impair. On peut alors le mettre sous la
forme \(n=2k+1\), où \(k\) est un entier.
En mettant \(n\) au carré,
\[
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=\underbrace{4(k^2+k)}_{=2k'}+1\,,
\]
où \(k'=2(k^2+k)\), qui est un entier peu importe la valeur de
\(k\).
Puisque \(n^2=2k'+1\), c'est un nombre impair,
une contradiction avec l'hypothèse de
départ.
Donc si \(n\) a un carré pair, il doit être pair aussi.