Exercice 02-09
Montrer que les irrationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\).
Il s'agit de démontrer que pour deux réels quelconques \(x\lt y\), il existe toujours un irrationnel \(z\) tel que \(x\lt z\lt y\).

On pourra utiliser les deux ingrédients suivants, démontrés au cours:

on peut trouver des rationnels entre \(x\) et \(y\).

on peut utiliser l'irrationnalité de \(\sqrt{2}\) pour ''squeezer'' un irrationnel entre \(x\) et \(y\).

Soient \(x\lt y\) deux réels. Montrons qu'on peut trouver un irrationel entre \(x\) et \(y\). On présente plusieurs façons de faire:
  1. Soit \(m\) le point milieu de \(x\) et \(y\): \(m:= \frac{x+y}{2}\). On a \(x\lt m\lt y\). Par la densité des rationnels dans \(\mathbb{R}\), on sait qu'il existe un rationnel \(r_1\in\mathbb{Q}\) tel que \(x\lt r_1\lt m\), et un rationnel \(r_2\in\mathbb{Q}\) tel que \(m\lt r_2\lt y\):
    Soit ensuite \(n\in \mathbb{N}^*\) tel que \(\frac{\sqrt{2}}{n}\lt r_2-r_1\) (un tel entier existe, puisque \(\mathbb{N}\) n'est pas majoré). Considérons alors \[z:= r_1+\frac{\sqrt{2}}{n}\,.\]
    Le nombre \(z\) est irrationnel (car s'il était rationnel alors \(\sqrt{2}=n(z-r_1)\) serait rationnel aussi), et \(x\lt z\lt y\).
  2. Autre façon de faire: Posons \(x'=x+\sqrt{2}\), \(y'=y+\sqrt{2}\). Puisque les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), il existe un rationnel \(r\) tel que \(x'\lt r\lt y'\). Ceci implique que \(x\lt r-\sqrt{2}\lt y\). Or \(z=r-\sqrt{2}\) est irrationnel (car s'il était rationnel, alors \(\sqrt{2}=r-z\) serait rationnel aussi).
  3. Posons \(x'=x/\sqrt{2}\), \(y'=y/\sqrt{2}\). Puisque les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), il existe un rationnel \(r\) tel que \(x'\lt r\lt y'\). Ceci implique que \(x\lt \sqrt{2}r\lt y\). Or \(z=\sqrt{2}r\) est irrationnel (car s'il était rationnel, alors \(\sqrt{2}=z/r\) serait rationnel aussi).