Montrer que les irrationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\).
Il s'agit de démontrer que pour deux réels quelconques \(x\lt y\), il existe
toujours un irrationnel \(z\) tel que \(x\lt z\lt y\).
On pourra utiliser les deux ingrédients suivants, démontrés au cours:
- \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\),
- \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Comme les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\),
on peut trouver des rationnels entre \(x\) et \(y\).
Puis,
on peut utiliser l'irrationnalité de \(\sqrt{2}\) pour ''squeezer'' un
irrationnel entre \(x\) et \(y\).