Exercice 02-12
(Cet exercice est facultatif.)
Montrer que l'ensemble \(C:= \{x\in \mathbb{R}\,|\,x^2<2\}\) est ouvert.
On ne pourra évidemment pas faire usage de la fonction
''racine carrée''!
Rappelons qu'un
ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) est
ouvert si pour tout \(x\in
E\) il existe un \(\varepsilon>0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset E\).
Il est à noter qu'en général, le ''\(\varepsilon\)'' dépend du ''\(x\)''!
Pour commencer,
on pourra fixer un \(x\in C\), c'est-à-dire tel que \(x^2\lt 2\), et se poser la
question suivante: si on prend un autre point \(y\in \mathbb{R}\), est-il possible de
prendre la distance \(|y-x|\) assez petite, de façon à ce que \(y\in C\)?
...
Pour que \(y\in C\), on aimerait que \(y^2\lt 2\). Et puisque \(x^2\lt 2\), on
pourra commencer par écrire
\[
y^2=(x+(y-x))^2=\cdots
\]
Fixons \(x\in C\), c'est-à-dire tel que \(x^2\lt 2\).
On cherche un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset C\),
c'est-à-dire tel que \(y\in C\) pour tout
\(y\in ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\).
Écrivons, pour tout \(y\),
\[
y^2=(x+(y-x))^2=x^2+2x(y-x)+(y-x)^2
\]
Si \(y\in ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\), alors
sa distance à \(x\) est inférieure à \(\varepsilon\), et donc
\[ 2x(y-x)+(y-x)^2\leqslant 2|x||y-x|+|y-x|^2\leqslant 2|x|\varepsilon+\varepsilon^2\,.
\]
Si on suppose que \(0\lt \varepsilon \lt 1\), alors
\(\varepsilon^2\lt\varepsilon\), et donc
\[
y^2\lt x^2+2|x|\varepsilon+\varepsilon=x^2+(2|x|+1)\varepsilon\,.
\]
Si on veut que \(y\in C\), il faut que \(y^2\lt 2\).
Cette condition sera garantie si on impose que
\(x^2+(2|x|+1)\varepsilon\lt 2\). Et cette dernière condition est
elle-même garantie si \(\varepsilon\) satisfait
\[
\varepsilon\lt \frac{2-x^2}{2|x|+1}\,.
\]
On voit bien ici que plus \(x^2\) est proche de \(2\), plus le \(\varepsilon\)
devra être pris petit.