Exercice 01-12
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\geqslant 1\),
  1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\bigl(\tfrac{1}{2}n(n+1)\bigr)^{2}\)
  2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k^{2}=\frac{n(n+1)}{2}\;\)
La méthode de preuve par récurrence est décrite ici.

Comme on sait que \(\sum_{k=1}^nk=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) (voir cours), la première expression correspond en fait à la très jolie formule suivante: \[ \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2 = 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\,. \]

remarquons que l'on peut toujours écrire, pour une somme de \(n+1\) termes, \[ \sum_{k=1}^{n+1}a_k= \left( \sum_{k=1}^{n}a_k \right)+a_{n+1} \]

  1. Pour \(n=1\), on a d'une part que \[ \sum_{k=1}^{1}k^3=1^3=1\,, \] et d'autre part que \[ \left( \frac{1}{2}1\cdot 2\right) ^{2}=1\,, \] et donc l'identité est vraie pour \(n=1\). Si on suppose qu'elle est vraie pour un certain \(n\), on calcule \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^3 &=\Bigl( \sum_{k=1}^{n}k^{3}\Bigr) +(n+1)^3\\ &=\Bigl( \frac{1}{2}n(n+1)\Bigr) ^2+(n+1)^3\\ &=\frac{1}{2^2}n^{2}(n+1)^2+(n+1)^3\\ &=\frac{1}{2^2}(n+1)^{2}\big( n^{2}+2^{2}(n+1)\big) \\ &=\frac{1}{2^2}\,(n+1)^2\left(n^2+4n+4\right)\\ &=\left(\frac{1}{2}(n+1)\big((n+1)+1\big)\right)^2\,, \end{aligned}\] et donc l'identité est vraie aussi pour \(n+1\).
  2. Pour \(n=1\), le côté gauche vaut \[ \sum_{k=1}^1(-1)^{1-k}k^{2}=(-1)^01^2=1\,, \] alors que le côté droit vaut \[ \frac{1(1+1)}{2}=1\,. \] L'identité est donc vraie pour \(n=1\). Si on suppose qu'elle est vraie pour un certain \(n\), on peut écrire le côté gauche, pour \(n+1\), comme suit: \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}&(-1)^{(n+1)-k}k^{2}\\ &=\left(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n+1-k}k^{2}\right) +(-1)^0(n+1)^2\\ &= -\left( \sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k^{2}\right) +(n+1)^{2} \\ &=-\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)^{2}\\ &=\frac{(n+1)(-n+2n+2)}{2}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\ &=\frac{(n+1)\big((n+1)+1\big)}{2}\,, \end{aligned}\] donc elle est vraie aussi pour \(n+1\).