Définissons, pour tout \(n\geqslant 1\), l'affirmation \(\mathcal{P}(n):=\)''l'entier \(a_n:= n^3+5n\) est un multiple de \(3\)''. On montre par récurrence que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

Commençons par remarquer que \(a_1=1^3+5=6\) est bien un multiple de \(3\), puisqu'on peut l'écrire comme \(a_1=3\cdot 2\). Ceci montre que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Supposons maintenant que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour un certain entier \(n\). Cela signifie que \(a_n\) est un multiple de \(3\): il existe un entier \(k\) tel que \(a_n=3k\). On voit alors que si on écrit \(a_{n+1}\), on peut le relier à \(a_n\) comme suit: \[\begin{aligned} a_{n+1}= (n+1)^3+5(n+1) &=(n^3+3n^2+3n+1)+5(n+1)\\ &=\underbrace{n^3+5n}_{=a_n}+3n^2+3n+6\\ &=3k+3(n^2+n+2)\\ &=3(\underbrace{k+n^2+n+2}_{=k'}) \end{aligned}\] Dans cette dernière, on remarque que \(k'\) est un entier (puisque c'est une somme d'entiers). Puisque \(a_{n+1}\) peut s'écrire comme \(a_{n+1}=3k'\), cela signifie bien que c'est un multiple de \(3\), donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Remarquons que le raisonnement que nous venons de suivre ne dépend pas de la valeur de \(n\). Donc quel que soit \(n\geqslant 1\), si \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, alors \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie aussi.

Maintenant, puisque \(\mathcal{P}(1)\) est vraie, le raisonnement précédent implique que \(\mathcal{P}(2)\) est vraie aussi, puis que \(\mathcal{P}(3)\) est vraie aussi, puis que \(\mathcal{P}(4)\) est vraie aussi, etc. Donc \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, quel que soit \(n\geqslant 1\).