Exercice 01-11
Pour tout entier \(n\geqslant 0\), on définit le nombre de Fermat \(F_{n}:=2^{(2^{n})}+1\). Démontrer, pour \(n\geqslant 1\), l'identité \[ F_n=2+\prod_{k=0}^{n-1}F_k. \]
La méthode de preuve par récurrence est décrite ici.

Rappelons que si \(a_1,a_2,\dots,a_n\) sont des réels, on écrit leur produit \[ \prod_{k=1}^na_k:= a_1\cdot a_2\cdots a_n\,. \]

Définir \(\mathcal{P}(n)\) comme la propriété ''\(F_n=2+\prod_{k=0}^{n-1}F_k\)''.

Si \(n=1\), on a d'une part que \(F_1=2^{(2^{1})}+1=2^{2}+1=5\), et d'autre part que \[ 2+\prod_{k=0}^{0}F_k=2+F_0=2+3=5\,, \] donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Si on suppose que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour un certain \(n\), \[ F_n=2+\prod_{k=0}^{n-1}F_k\,, \] alors on peut commencer par écrire \[\begin{aligned} F_{n+1} &=2^{(2^{n+1})}+1\\ &=2^{\left( 2\cdot 2^{n}\right) }+1 \\ &=\bigl( 2^{(2^{n})}\bigr)^2+1\\ &=(F_n-1)^2+1 \\ &=F_n(F_n-2)+2 \,. \end{aligned}\] Si on utilise l'hypothèse de récurrence, on peut remplacer \(F_n-2\) par le produit, \[\begin{aligned} F_n(F_n-2)+2 &=F_n\left( \prod_{k=0}^{n-1}F_{k}\right) +2\\ &=\prod_{k=0}^nF_k+2\\ &=\prod_{k=0}^{(n+1)-1}F_{k}+2\,. \end{aligned}\] Ceci montre que \[ F_{n+1}=2+\prod_{k=0}^{(n+1)-1}F_{k}\,, \] à savoir que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie aussi.