Exercice 13-06
Calculer les primitives ci-dessous, à l'aide de primitives déjà connues.
  1. \(\displaystyle\int \frac{3x+4}{1+x^2}\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)^3}\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4-3x^2}}\,dx\)
  4. \(\displaystyle\int \frac{\sinh(x)}{e^x+1}\,dx\)
Dans cette exercice, on calcule des primitives sans méthodes trop sophistiquées, en réarrangeant la fonction considérée de façon à la voir comme faite de parties dans lesquelles on peut identifier directement la dérivée d'une fonction connue.

Séparer la fraction en une somme de deux fractions.

\(\sin(x)=-(\cos(x))'\)

\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(\arcsin(x))'\)

La définition du sinus hyperbolique est rappelée ici.

  1. On sépare la somme en deux termes \[\begin{aligned} \int\frac{3x+4}{1+x^2}\,dx &= \int\left(\frac{3x}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^2}\right)dx\\ &= \frac{3}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\;dx +4\int\frac{1}{1+x^2}\;dx\\ &= \frac{3}{2}\log\left(1+x^2\right) + 4\arctan(x) + C\,. \end{aligned}\]
  2. On utilise que la fonction à intégrer est la dérivée d'une fonction composée: \[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)^3} = -f\big(\varphi(x)\big)\cdot\varphi'(x) = -\Big(F\big(\varphi(x)\big)\Big)'\,, \] avec \(\varphi(x)=\cos(x)\), \(f(x)=\dfrac{1}{x^3}\,\) et \(F(x)=-\dfrac{1}{2x^2}-C\,\) une primitive de \(F\). Ainsi \[ \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)^3}\;dx = -\left(-\frac{1}{2\cos(x)^2}-C\right) =\frac{1}{2\cos(x)^2}+C\,. \]
  3. On remarque que \[\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{4-3x^2}} &= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{4}x^2}} \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1- \big(\frac{\sqrt{3}}{2}x\big)^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}x)'}{\sqrt{1- \big(\frac{\sqrt{3}}{2}x\big)^2}}\\ \end{aligned}\] Comme \(\big(\arcsin(x)\big)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), on peut écrire \[ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{3}{4}x^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x\right) + C\,. \]
  4. En utilisant la définition du sinus hyperbolique et une identité remarquable, on a \[ \begin{split} \int\frac{\sinh(x)}{e^x+1}\,dx &= \frac{1}{2}\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1-(e^{-x})^2}{1+e^{-x}}\;dx \\ &= \frac{1}{2}\int(1-e^{-x})\,dx = \frac{1}{2}\left(x+e^{-x}\right)+C\,. \end{split} \]