Exercice 14-03
Calculer les primitives des fonctions suivantes, en utilisant le changement de variable indiqué.
  1. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), poser \(x=\sin(u)\) (\(x\in ]-1,1[\))
  2. \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), poser \(x=\tan(u)\) (\(x\in \mathbb{R}\))
On a vu des exemples de l'utilisation de changements de variables ici.

Lorsqu'on fera un changement de variable \(x=\phi(u)\), pour une fonction \(\phi\) inversible, on fera usage de l'expression (pas très bien définie mais très utile) vue au cours: \[ \int f(x)\,dx = \int f(\phi(u))\phi'(u)\,du \] On reviendra à l'expression de la primitive en \(x\) à l'aide de la réciproque de \(\phi\).
  1. Pour \(x=\varphi(u)=\sin(u)\) on a \(u\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\), et puisque sur cet intervalle \(\cos(u)\gt 0\), on a \[f(\varphi(u)) =\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin(u)^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{\cos(u)^2}}=\dfrac{1}{\cos(u)}\,,\] et \(\varphi'(u)=\cos(u)\). Ainsi, \[\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx &= \int \frac{\cos(u)}{\cos(u)}\,du \\ &=\int du=u+ C = \arcsin(x)+C\,, \end{aligned}\] où on a utilisé que \(u=\varphi^{-1}(x)=\arcsin(x)\).
  2. Pour \(x=\varphi(u)=\tan(u)\) on a \[ f(\varphi(u)) =\frac{1}{1+\tan(u)^2} =\frac{\cos(u)^2}{\cos(u)^2+\sin(u)^2} =\cos(u)^2\,, \] et \(\varphi'(u)=\dfrac{1}{\cos(u)^2}\,\). Ainsi \[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx =\int \frac{\cos(u)^2}{\cos(u)^2}\,du =\int du=u+C =\arctan(x)+C\,, \] où on a utilisé que \(u=\varphi^{-1}(x)=\arctan(x)\,\).