Exercice 13-07
Soient \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) intégrables. Montrer que si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour
tout \(x\in [a,b]\), alors
\[
\int_a^bf(x)\,dx\leqslant \int_a^b g(x)\,dx\,.
\]
Pour commencer
On considérera, pour une subdivision \(\sigma\) de \([a,b]\),
les sommes de Darboux
\(\overline{S}_\sigma(f)\)
et
\(\overline{S}_\sigma(g)\).
Soit \(\sigma=(x_0,x_1,\dots,x_n)\)
une subdivision de \([a,b]\).
On écrit comme suit les sommes de
Darboux associées à cette subdivision et à \(f\) et \(g\):
\[\begin{aligned}
\overline{S}_\sigma(f)&=\sum_{k=1}^nM^f_k(x_k-x_{k-1})\,,\\
\overline{S}_\sigma(g)&=\sum_{k=1}^nM^g_k(x_k-x_{k-1})\,.
\end{aligned}\]
Puisque \(f\leqslant g\), ou a que pour tout \(k\),
\(M^f_k\leqslant M^g_k\), et donc
\[
\overline{S}_\sigma(f)\leqslant
\overline{S}_\sigma(g)\,.
\]
Ceci implique
\[\begin{aligned}
\int_a^bf(x)\,dx
&=\overline{S}(f)\\
&=\inf_\sigma \overline{S}_\sigma(f)\\
&\leqslant \inf_\sigma \overline{S}_\sigma(g)=\overline{S}(g)=\int_a^bg(x)\,dx\,.
\end{aligned}\]