Puisque \(\Delta=4(a^2-b)<0\), on cherche une décomposition du type \[ \frac{1}{x(x^2+2ax+b)} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2ax+b}\,. \] On trouve \(A=\frac1b\), \(B=-\frac1b\), \(C=-\frac{2a}{b}\). Pour le deuxième terme, on peut réarranger \[\begin{aligned} \frac{Bx+C}{x^2+2ax+b} &= -\frac1b \frac{x+2a}{x^2+2ax+b}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{2x+2a}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b}\frac{1}{x^2+2ax+b}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{2x+2a}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b}\frac{1}{(x+a)^2+b-a^2}\\ &= -\frac{1}{2b}\frac{(x^2+2ax+b)'}{x^2+2ax+b} -\frac{a}{b(b-a^2)}\frac{1}{(\frac{x+a}{\sqrt{b-a^2}})^2+1}\,. \end{aligned}\] On trouve \[\begin{aligned} \int\frac{d x}{x(x^2+2ax+b)} &= \frac{1}{b}\log|x| -\frac{1}{2b}\log(x^2+2ax+b)\\ &\phantom{salutlesluluslili} -\frac{a}{b\sqrt{b-a^2}}\arctan\Bigl( \frac{x+a}{\sqrt{b-a^2}} \Bigr)+C \end{aligned}\]