Exercice 13-10
Soit \(I\subset\mathbb{R}\) un intervalle ouvert et borné et soit \(f\colon I\to\mathbb{R}\) une fonction continue. Vrai ou faux?
  1. \(f\) admet une primitive sur \(I\).
Pour la suite, on restreint le domaine de \(f\) à un intervalle \([a,b]\subset I\).
  1. Si \(\int_a^b f(x)\,dx = 0\), alors \(f\) admet un zéro en \([a,b]\).
  2. Si \(\int_a^b f(x)\,dx\geqslant 0\), alors \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in[a,b]\).
  3. Si \(f(x)\lt 0\) pour tout \(x\in[a,b]\), alors \(\int_a^b f(x)\,dx\lt 0\).
Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
  1. Si \(f(x)\leqslant 0\) pour tout \(x\in[a,b]\), alors \(F(x)\leqslant 0\) pour tout \(x\in[a,b]\).
  2. Pour tout \(x\in[a,b]\), on a \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\).
  1. VRAI. Soit \(a\in I\). On a en effet montré au cours que la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_a^x\! f(t)\,dt\) est une primitive de \(f\).
  2. VRAI. Par le théorème de la moyenne, il existe \(u\in\:]a,b[\,\) tel que \(0=\int_a^bf(x)\,dx = f(u)(b-a)\). Comme \(b\gt a\), on doit avoir \(f(u)=0\).
  3. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x\) sur l'intervalle \([-1,2]\). Alors \(\int_{-1}^{2}f(x)\,dx = \frac{x^2}{2}|_{-1}^2=\frac{3}{2}\geqslant 0\) mais \(f(-1)=-1\lt 0\).
  4. VRAI. Par le théorème de la moyenne, il existe \(u\in\:]a,b[\,\) tel que \(\int_a^bf(x)\,dx = f(u)(b-a)\). Comme on a \(f(u)\lt 0\) et que \(b\gt a\), le résultat suit.
  5. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x\) sur l'intervalle \([-2,-1]\). Ainsi \(f(x)\leqslant 0\) sur \([-2,-1]\) mais \(F(x)=\frac{1}{2}x^2\) est une primitive de \(f\), et elle est strictement positive sur \([-2,-1]\).
  6. FAUX. On sait que \(I(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) est une primitive de \(f\), et donc \(F(x)=I(x)+C\) comme vu au cours.