Exercice 09-01
Soient \(f\) et \(g\) définies dans un voisinage à droite de \(x_0\), telles que \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \quad \text{ et } \quad \lim_{x\to x_0^+}g(x)=\ell\in \mathbb{R}\,. \]
  1. Montrer que \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)g(x)= \begin{cases} +\infty\text{ si }\ell>0\,,\\ -\infty\text{ si }\ell<0\,.\\ \end{cases} \]
  2. Expliquer pourquoi lorsque \(\ell=0\), la limite du produit \(f(x)g(x)\) est indéterminée.
Cet exercice combine deux types de comportements à l'approche d'un point \(x_0\); un qui tend vers une limite réelle (comme défini ici), et un qui tend vers l'infini (comme défini ici).

Il faudra donc mettre à l'oeuvre ces deux définitions de limite et les combiner pour obtenir le résultat voulu.

Si \(g(x)\geqslant c\gt 0\) dans un voisinage à droite de \(x_0\), et si on sait que \(f(x)\) devient très grand proche de \(x_0\), on peut rendre le produit \(f(x)g(x)\) plus grand qu'une quantité \(M\gt 0\) fixée en demandant que \(f(x)\) soit plus grande que \(M/c\).

On pourra donner quelques exemples qui illustrent le fait que des fonctions différentes avec des comportements semblables mènent à un produit dont le comportement est très différent.

  1. Supposons que \(\ell\gt 0\) (le cas \(\ell\lt 0\) se traite de façon similaire).

    On doit montrer que pour tout \(M\gt 0\), il existe \(\delta\gt 0\) tel que \[ x_0\lt x\leqslant x_0+\delta \qquad \implies \qquad f(x)g(x)\geqslant M\,. \] Fixons donc un \(M\gt 0\).
    • Puisque \(\lim_{x\to x_0^+}g(x)=\ell\), il existe \(\delta_1\gt 0\) tel que \(g(x)\geqslant \ell/2\gt 0\) dès que \(x_0\lt x \leqslant x_0+\delta_1\).
    • Puisque \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\), il existe \(\delta_2\gt 0\) tel que \(f(x)\geqslant \frac{2M}{\ell}\) dès que \(x_0\lt x\leqslant x_0+\delta_2\).
    Définissons maintenant \[\delta:= \min\{\delta_1,\delta_2\}\,.\] Si \(x_0\lt x\leqslant x_0+\delta\), on a à la fois \(g(x)\geqslant \ell/2\) et \(f(x)\geqslant 2M/\ell\), donc \[ f(x)g(x)\geqslant \frac{2M}{\ell}\cdot \frac{\ell}{2}=M\,. \] On a donc bien montré que \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)g(x)=+\infty\),

    Lorsque \(\ell=0\), la limite \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)g(x)\) est indéterminée, dans le sens où le comportement de \(f(x)g(x)\) peut dépendre fortement des fonctions \(f\) et \(g\).
  2. Par exemple, si \(f(x)=\frac1x\), alors \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\), mais
    • avec \(g(x)=x^2\), on a \(\lim_{x\to 0^+}g(x)=0\) et \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)g(x)= \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{x}= \lim_{x\to 0^+}x= 0\,,\]
    • avec \(g(x)=x\), on a \(\lim_{x\to 0^+}g(x)=0\) et \[\lim_{x\to 0^+}f(x)g(x) \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}= \lim_{x\to 0^+}1=1\,,\]
    • avec \(g(x)=\sqrt{x}\), on a \(\lim_{x\to 0^+}g(x)=0\) et \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)g(x) \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x}= \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}= +\infty\,.\]