Exercice 08-12
Trouver les valeurs de \(\alpha\in\mathbb{R}\) pour lesquelles les limites suivantes existent:
  1. \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x-1}-\alpha}{x-2}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x\to \alpha} \frac{(\tan(x-\alpha))^2}{(x-\alpha)^2}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x\to\alpha} \frac{x^4-2\alpha x^3+4x^2}{(x-\alpha)^2}\)
Rappelons que lorsqu'on dit exister, pour une limite de fonction, cela signifie que la fonction considérée tend vers un nombre réel fixé.

Or pour que la limite d'un quotient de fonctions existe, il faut

Si \(x\) tend vers \(\alpha\), alors \(z:= x-\alpha\) tend vers...

Comme le dénominateur tend vers zéro lorsque \(x\to \alpha\), la limite existe seulement si le numérateur tend aussi vers zéro lorsque \(x\to \alpha\). Comme le numérateur est un polynôme en \(x\), ce polynôme doit s'annuler en \(x=\alpha\).

  1. Comme le dénominateur tend vers zéro, le numérateur doit aussi tendre vers zéro. Comme le numérateur tend vers \(\sqrt{1}-\alpha\), la seule possibilité est \(\alpha=1\). On peut alors vérifier que dans ce cas, la limite existe et vaut \(\frac12\).
  2. Observons qu'en posant \(z=x-\alpha\), \(x\to \alpha\) implique \(z\to 0\), et donc \[ \lim_{x\to \alpha} \frac{(\tan(x-\alpha))^2}{(x-\alpha)^2} =\lim_{z\to 0}\frac{(\tan(z))^2}{z^2}\,. \] Du cours on sait que \(\lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1\). Ainsi, \[\begin{aligned} \lim_{z\to 0}\frac{\tan(z)}{z} &=\lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z\cdot\cos(z)}\\ &= \bigg(\lim_{z\to 0} \frac{\sin(z)}{z}\bigg)\cdot \bigg(\lim_{z\to 0}\frac{1}{\cos(z)}\bigg)=1 \end{aligned}\] car les deux limites existent et valent \(1\). On en déduit \[\begin{aligned} \lim_{z\to 0}\dfrac{(\tan(z))^2}{z^2}&= \lim_{z\to 0}\dfrac{\tan(z)}{z}\dfrac{\tan(z)}{z}\\ &= \bigg(\lim\limits_{z\to 0}\dfrac{\tan(z)}{z}\bigg) \cdot \bigg(\lim\limits_{z\to 0}\dfrac{\tan(z)}{z}\bigg) \\ &=1^2=1 \end{aligned}\] et donc la limite donnée existe pour tout \(\alpha\in\mathbb{R}\).
  3. Comme le dénominateur s'annule dans la limite \(x\to\alpha\), la limite existe et est finie seulement si le numérateur tend aussi vers zéro dans cette limite . De plus, comme \(\alpha\) est une racine double du dénominateur, elle doit également être une racine double du numérateur . Evalué en \(\alpha\), ce dernier devient \[ \alpha^4-2\alpha^4+4\alpha^2 =\alpha^2(4-\alpha^2) =\alpha^2(2+\alpha)(2-\alpha). \] Les candidats sont donc les racines de ce polynôme-ci, c'est-à-dire \(\alpha\in\{0,-2,2\}\) Pour \(\alpha=0\), le polynôme est \(x^4+4x^2=x^2(x^2+4)\) dont \(0\) est bien une racine double. Pour \(\alpha=\pm 2\), on a \[ x^4 \mp 4x^3+4x^2=x^2(x^2\mp 4x+4)=x^2(x\mp 2)^2 \] et donc \(2\) et \(-2\) sont des racines doubles respectives. Ainsi la limite existe si et seulement si \(\alpha\in\{-2,0,2\}\).