Exercice 00-24
Simplifier les expressions ci-dessous.
  1. \(\cos(2\arccos x)\)
  2. \(\cos(2\arcsin x)\)
  3. \(\sin(2\arccos x)\)
  4. \(\cos(2\arctan x)\)
  5. \(\sin (2\arctan x)\)
  6. \(\tan (2\arcsin x)\)
Un rappel sur les réciproques des fonctions trigonométriques se trouve ici.

\[ \cos(2\alpha)=2\cos(\alpha)^2-1 \]

  1. \(\cos(2\arccos x)=2\cos^2(\arccos x)-1=2x^2-1\)
  2. \(\cos(2\arcsin x)=1-2\sin^2(\arcsin x)=1-2x^2\)
  3. \(\sin(2\arccos x)=2\sin (\arccos x)\cos (\arccos x)=2x\sqrt{1-x^2}\)
  4. \(\cos(2\arctan x)=2\cos^2(\arctan x)-1=\tfrac{1-x^2}{1+x^2}\)
  5. \(\sin (2\arctan x)=\frac{2x}{1+x^2}\)
  6. \(\tan (2\arcsin x)=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2}\)