Pour y voir clair, introduisons \[ a_n=\sum_{j=1}^{n+1}\,j\,2^j\,,\qquad b_n=n\,2^{n+2}+2\,. \] On veut montrer que \(a_n=b_n\) pour tout \(n\geqslant 0\).

Pour \(n=0\), on a \[ a_0=\sum_{j=1}^1\,j\,2^j =1\cdot 2^1=2\,, \] et \(b_0=0\cdot 2^2+2=2\), et donc \(a_0=b_0\).

On passe ensuite au pas de récurrence. Supposons que pour un certain \(n\) on ait \(a_n=b_n\). Calculons \[\begin{aligned} a_{n+1} &=\sum_{j=1}^{(n+1)+1} j2^j \\ &=\sum_{j=1}^{n+2} j2^j \\ &=\underbrace{\left(\sum_{j=1}^{n+1} j2^j\right)}_{=a_n} +(n+2)2^{n+2}\\ &=a_n +(n+2)2^{n+2}\\ &=b_n +(n+2)2^{n+2}\\ &=(n\, 2^{n+2}+2) +(n+2)2^{n+2}\\ &=2^{n+2} (n+n+2)+2 \\ &=(2n+2)2^{n+2} + 2 \\ &=(n+1)2^{(n+2)+1} + 2\\ &=b_{n+1}\,. \end{aligned}\] On a utilisé l'hypothèse de récurrence entre la troisième et la quatrième ligne.

Ainsi, on a bien \(a_n=b_n\) pour tout \(n\geqslant 0\).