Exercice 00-14
Associer une valeur exacte à chacune des expressions suivantes.
  1. \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\)
  2. \(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\)
  3. \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
  4. \(2\cos (\frac{\pi}{8})\)
Les angles remarquables sont les quelques angles simples pour lesquels les fonctions trigonométriques se calculent facilement.

Or pour un \(x\in\mathbb{R}\) a priori quelconque, il n'y a pas de raison de penser que \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), et \(\tan(x)\) peuvent s'exprimer de façon simple.

Par contre, pour un angle pouvant s'exprimer comme une somme d'angles remarquables, ou comme un multiple d'un angle remarquable, les formules trigonométriques standards (en particulier celles pour \(\sin(x+y)\) et \(\cos(x+y)\), ainsi que leurs dérivées) permettent souvent d'obtenir des expressions exactes.

Voir ici pour un rappel sur ces formules.
  1. \(-\frac{1}{2}\)
  2. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  3. \(\sqrt{3}\)
  4. \(\sqrt{2+\sqrt{2}}\) (On a utilisé \(\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\) avec \(x=\frac{\pi}{8}\).)