Exercice 00-15
Calculer \(\sin(x+y)\), sachant que \(\sin(x)=\frac{1}{3}\),
\(\cos(y)=\frac{4}{5}\), et
que \(0 \lt x,y \lt \frac{\pi}{2}\).
Voir
ici pour un rappel sur les
fonctions trigonométriques et leurs propriétés.
En utilisant
\[
\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\,,
\]
on utilise ensuite le fait que
\(0 \lt x,y \lt \frac{\pi}{2}\) pour
en déduire que \(\cos(x)\gt 0\) et \(\sin(y)\gt 0\), et donc
\[
\cos(x)=+\sqrt{1-\sin(x)^2}\,,\qquad
\sin(y)=+\sqrt{1-\cos(y)^2}\,.
\]
On trouve
\(\sin(x+y)=\frac{1}{15}(4+6\sqrt{2})\).