Exercice 00-18
Déterminer le domaine de définition des fonctions ci-dessous
  1. \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x-2}\)
  2. \(\displaystyle g(x)=\frac{x^{1/3}}{x^2+1}\)
  3. \(\displaystyle h(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{x^2-1}\)
  4. \(\displaystyle i(x)=\frac{1}{|x|+x}\)
L'ensemble de définition d'une fonction réelle \(f\) est défini comme le plus grand ensemble possible \(D\subset \mathbb{R}\) tel que le nombre \(f(x)\) est bien défini pour chaque \(x\in D\).
  1. \(\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}=]-\infty,-2[\cup]-2,1[\cup]1,\infty[\),
  2. \([0,\infty[\). Oui: la fonction \(x\mapsto x^{1/3}\) se construit comme la fonction \(x\mapsto x^{1/2}\): on fixe \(y\geqslant 0\), et on montre qu'il existe un réel \(x\geqslant 0\) tel que \(x^3=y\). Donc son domaine est \(\mathbb{R}_+\).

    Après, c'est vrai que l'on peut étendre son domaine à tout \(\mathbb{R}\) si on veut en posant, pour un \(x\leqslant 0\), \(x^{1/3}:= -(-x)^{1/3}\). Donc il n'est pas complètement faux de dire que le domaine de la fonction de cet exercice est \(\mathbb{R}\).

    Remarque: rendez vous ici et demandez de vous faire le graphe de \(x^{1/3}\) (pow(x,1/3)); on voit que seulement les valeurs positives de \(x\) sont considérées.
  3. \(]-\infty,-1]\cup [1,4]\).
  4. \(]0,+\infty[\)