Exercice 12-12
(Exercice facultatif) Soit la fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} x^2+x+1&\text{ si }x\leqslant 0\,,\\ \frac32 x^2+x+\cos(x)&\text{ si }x> 0\,,\\ \end{cases} \]
  1. Montrer que \(f^{(1)},f^{(2)}, f^{(3)}\) existent, en les calculant.
  2. En déduire que \(f\) est de classe \(C^3\), et donner son développement limité d'ordre \(2\) autour de \(x_0=0\).
  3. Montrer que \(f\) n'est pas \(C^4\).

Pour étudier la dérivabilité en zéro, on pourra utiliser le résultat suivant, vu au cours comme conséquence du théorème des accroissements finis: si \(g\) est continue en \(x_0\) et si \(\lim_{x\to x_0^\pm}g'(x)\) existent et sont égales, alors \(g\) est dérivable en \(x_0\) et \(g'(x_0)=\lim_{x\to x_0^\pm}g'(x)\).

  1. Avant tout, remarquons que \(f\) est continue partout, en particulier en \(x_0\) puisque \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=1=f(0)\,. \] En dehors de \(x_0=0\), on peut toujours dériver \(f\): \[ f'(x)= \begin{cases} 2x+1&\text{ si }x\lt 0\,,\\ 3x+1-\sin(x)&\text{ si }x\gt 0\,, \end{cases} \] On peut donc calculer \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}f'(x)&=\lim_{x\to 0^-}(2x+1)=1\,,\\ \lim_{x\to 0^+}f'(x)&=\lim_{x\to 0^-}(3x+1-\sin(x))=1\,, \end{aligned}\] et donc \(f\) est dérivable aussi en \(x_0=0\). Ainsi, \(f'\) est définie partout, et \[ f'(x)= \begin{cases} 2x+1&\text{ si }x\lt 0\,,\\ 1&\text{ si }x=0\,,\\ 3x+1-\sin(x)&\text{ si }x\gt 0\,. \end{cases} \] Remarquons que \(f'\) est continue partout, en particulier en \(x_0=0\) puisque \[ \lim_{x\to x_0}f'(x)=1=f'(0)\,.\] Ensuite, \(f'\) est dérivable partout en dehors de \(x_0=0\) et \[ f^{(2)}(x)= \begin{cases} 2&\text{ si }x\lt 0\,,\\ 3-\cos(x)&\text{ si }x\gt 0\,. \end{cases} \] De plus, \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}f^{(2)}(x)&=\lim_{x\to 0^-}2=2\,,\\ \lim_{x\to 0^+}f^{(2)}(x)&=\lim_{x\to 0^-}(3-\cos(x))=2\,, \end{aligned}\] donc \(f^{(2)}\) est bien définie partout. \(f\) est continue partout. Remarquons que \(f^{(2)}\) est continue partout, en particulier en \(x_0=0\) puisque \[ \lim_{x\to x_0}f^{(2)}(x)=2=f^{(2)}(0)\,.\] Ensuite, \(f^{(2)}\) est dérivable partout en dehors de \(x_0=0\) et \[ f^{(3)}(x)= \begin{cases} 0&\text{ si }x\lt 0\,,\\ \sin(x)&\text{ si }x\gt 0\,. \end{cases} \] De plus, \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}f^{(3)}(x)&=\lim_{x\to 0^-}0=0\,,\\ \lim_{x\to 0^+}f^{(3)}(x)&=\lim_{x\to 0^-}\sin(x)=0\,, \end{aligned}\] donc \(f^{(3)}\) est bien définie partout.
  2. Puisque \[ f^{(3)}(x)= \begin{cases} 0&\text{ si }x\leqslant 0\,,\\ \sin(x)&\text{ si }x\gt 0\,, \end{cases} \] on en déduit que \(f^{(3)}\) est continue partout, en particulier en \(x_0=0\), ce qui implique que \(f\in C^3(\mathbb{R})\). Par la formule de Taylor/McLaurin, \(f\) possède un développement limité d'ordre \(2\) autour de \(x_0=0\), donné par \[\begin{aligned} f(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+x^2\varepsilon(x)\\ &=1+x+x^2+x^2\varepsilon(x)\,. \end{aligned}\]
  3. On remarque pour finir que \(f^{(3)}\) est dérivable en dehors de zéro, \[ f^{(4)}(x)= \begin{cases} 0&\text{ si }x\lt 0\,,\\ \cos(x)&\text{ si }x\gt 0\,, \end{cases} \] mais \(f^{(3)}\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\), puisque \[ \lim_{x\to 0^-}f^{(4)}(x)=0\neq 1= \lim_{x\to 0^+}f^{(4)}(x)\,.\]