Plutôt que de passer par la formule de Taylor, on procédera comme dans le
deuxième exemple donné
ici.
Le but est, dans les deux cas, d'essayer d'utiliser uniquement la série de
MacLaurin connue:
\[\frac{1}{1-u}=1+u+u^2+u^3+\cdots\,,\]
dont l'intervalle de convergence est \(]-1,1[\).
Dans le cas 1.
Écrire
\[ \frac{2}{3+4x}=
\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1 + \frac{4}{3}x}\,,
\]
donc prendre \(u=-\frac{4}{3}x\).
Dans le cas 2.
Écrire
\[
f(x)
= \frac{2}{3+4x}
= \frac{2}{11 + 4(x-2)}
= \frac{2}{11}\cdot \frac{1}{1 +\frac{4}{11}(x-2)}\,,
\]
donc prendre \(u=-\frac{4}{11}(x-2)\).
On sait que le développement de \(f(z)=\dfrac{1}{1-z}\) en série entière est
\[
f(z)=\sum _{k=0}^{\infty} z^k\,,
\]
et que ce dernier converge pour tout \(z\in\,]-1,1[\,\).
- On peut récrire
\[
f(x) = \frac{2}{3+4x} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1 + \frac{4}{3}x}\,.
\]
Ainsi, en posant \(z:=-\frac{4}{3}x\), on obtient que son développement en série
entière est
\[
f(x) = \frac{2}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{4}{3}\right)^n x^n
\qquad \text{ pour }x \in \left]-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right[.
\]
- De façon similaire, écrivons
\[
f(x) = \frac{2}{3+4x} = \frac{2}{11 + 4(x-2)} = \frac{2}{11}\cdot \frac{1}{1 +
\frac{4}{11}(x-2)}
\]
de telle sorte qu'en posant \(z:=-\frac{4}{11}(x-2)\), on obtient que son
développement en série entière est
\[
f(x) =\frac{2}{11}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{4}{11}\right)^n(x-2)^n,
\]
avec intervalle de convergence \(\left]-\frac{3}{4},\frac{19}{4}\right[\)
(obtenue à partir de \(z=-\frac{4}{11}(x-2)\in\:]-1,1[\)).