Exercice 12-09
Calculer l'intervalle de convergence des séries entières ci-dessous.
  1. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}k^k(x-x_0)^k\)
  2. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}k^7(x-x_0)^k\)
  3. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}\frac{1}{k!^2}(x-x_0)^k\)
  4. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}\sin(\tfrac{k\pi}{2})(x-x_0)^k\)
  5. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 3}\frac{(-1)^k\log(k)}{k}(x-x_0)^k\)
  6. \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 0}\frac{(k!)^3}{(3k)!}(x-x_0)^k\)
On a vu ici quelques exemples de calculs de rayons et intervalles \(I\) de convergence.
  1. Comme \(\sigma=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim_{k\to\infty}k=+\infty\), on a \(R=0\), donc l'intervalle de convergence ne contient que le point \(x_0\): \(I=\{x_0\}\).
  2. Comme \(\sigma=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=1\), on a \(R=1\). Somme la série diverge en \(x=x_0\pm 1\) (car son terme général ne tend pas vers zéro), on a \(I=]x_0-1,x_0+1[\).
  3. Comme \(\sigma=\lim_{k\to\infty}\big|\frac{a_{k+1}}{a_k}\big|=0\), on a \(R=\infty\), et donc \(I=\mathbb{R}\).
  4. On utilise la version plus générale du critère: Comme \(\sigma=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=1\), on a \(R=1\). Comme la série diverge en \(x=x_0\pm 1\) car son terme général ne tend pas vers zéro, on a \(I=]x_0-1,x_0+1[\).
  5. Remarquons d'abord que \[\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| &=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{\log(k+1)}{\log(k)}\frac{k}{k+1}\right|\\ &= \lim_{k\to\infty}\left|\frac{\log(1+\frac{1}{k})+\log(k)}{\log(k)}\right|\\ &= \lim_{k\to\infty}\left|1+\frac{\log(1+\frac{1}{k})}{\log(k)}\right| =1\,. \end{aligned}\] Ensuite, pour \(x=x_0+1\), la série devient \[ \sum_k(-1)^k\frac{\log(k)}{k}\,, \] et comme \(x_k=\frac{\log(k)}{k}\geqslant 0\) tend vers zéro et est décroissante (on le vérifie en remarquant que \(x_k=\varphi(k)\), où \(\varphi(t)=\frac{\log(t)}{t}\), qui est décroissante puisque \(\varphi'(t)\leqslant 0\) pour tout \(t\geqslant e\)), ceci implique que la série converge par le critère de la série alternée. Mais pour \(x=x_0-1\), la série devient \[ \sum_k\frac{\log(k)}{k}\,, \] qui diverge puisque \(\frac{\log(k)}{k}\geqslant \frac{1}{k}\) pour tout \(k\geqslant 3\). Donc \(I=]x_0-1,x_0+1]\).
  6. Remarquons que \[\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| &= \lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{\frac{(k+1)!^3}{(3(k+1))!}}{\frac{k!^3}{(3k)!}}\Bigr|\\ &= \lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{\frac{(k+1)^3k!^3}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)(3k)!}}{\frac{k!^3}{(3k)!}}\Bigr|\\ &= \lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^3}{(3k+3)(3k+2)(3k+1)}\\ &= \lim_{k\to\infty}\frac{(1+1/k)^3}{(3+3/k)(3+2/k)(3+1/k)}= \frac{1}{27}\,, \end{aligned}\] et donc \(R=27\). Ensuite, le comportement de la série sur le bord de l'intervalle de convergence, aux points \(x_0\pm 27\), passe par l'étude des séries \(\sum_k\frac{(k!)^3 (\pm 27)^k}{(3k)!}\), qui divergent toutes les deux (ce que nous ne justifierons pas ici), et donc \(I=]x_0-27,x_0+27[\).