Utiliser les règles de dérivation pour calculer les dérivées
des fonctions suivantes. Ensuite, donner le domaine de la fonction ainsi que
celui de sa dérivée.
Rappelons qu'une fonction du type ''\(f(x)^{g(x)}\)'' ne fait sens que
lorsqu'elle est définie comme suit:
\[ f(x)^{g(x)}
:= \exp\left(g(x)\log (f(x))\right)
\]
\[\begin{aligned}
f'(x)=\dfrac{5(3x^2-1)-6x(5x+2)}{(3x^2-1)^2}=
-\dfrac{15x^2+12x+5}{(3x^2-1)^2}\,,
\end{aligned}\]
avec
\(D(f)=D(f')=\mathbb{R}\setminus \left\{
-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\).
En appliquant la règle de dérivation d'un quotient à
\(f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\),
\[\begin{aligned}
f'(x)=\frac{\cos(x)^2-\sin(x)\big(-\sin(x)\big)}{\cos(x)^2}
&=1+\tan(x)^2\\
&=\frac{1}{\cos(x)^2}
\end{aligned}\]
et donc
\[\begin{aligned}
D(f)
=D(f')
&=\mathbb{R}\setminus\{x\in\mathbb{R}:\cos(x)=0\}\\
&=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{(2k+1)\pi}{2} \,:\, k\in \mathbb{Z}\right\}
\end{aligned}\]
\[f'(x)=\dfrac{2x\sqrt{1-x^2}-x^2
\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)}{1-x^2}=\dfrac{x(2-x^2)}{(1-x^2)^{3/2}}\,,
\]
avec \(D(f)=D(f')=]-1,1[\)
Il s'agit de plusieurs composées de fonctions. Donc
\[\begin{aligned}
f'(x)=& \dfrac{1}{2\sqrt{\sin\left(\sqrt{\sin(x)}\right)}}
\cos\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr) \dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x)}}\cos(x)\\
=& \dfrac{\cos\left(\sqrt{\sin(x)}\right)\cos(x)}{4
\sqrt{\sin\bigl(\sqrt{\sin(x)}\bigr)}\sqrt{\sin(x)}}\,.
\end{aligned}\]
Le domaine de \(f\) est
\[\begin{aligned}
D(f)&=\left\{x\in\mathbb{R}:\sin(x)\geqslant 0 \text{ et
}\sin\Bigl(\sqrt{\sin(x)}\Bigr)\geqslant 0\right\}\\
&=
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big[2k\pi,(2k+1)\pi\big]\,.
\end{aligned}\]
En effet, \(\sin(x)\geqslant 0\) si et seulement si
\(x\in [2k\pi,(2k+1)\pi]\), et
pour ces valeurs, on a \(\sqrt{\sin(x)}\in[0,1]\) si bien que
\(\sin(\sqrt{\sin(x)})\geqslant 0\), c'est-à-dire \(f\) est bien
définie.
Pour le domaine de \(f'\), il faut encore exclure les points où \(\sin(x)=0\),
c'est-à-dire
\[
D(f')=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\, \big]2k\pi,(2k+1)\pi\big[\,.
\]
\[\begin{aligned}
f'(x)&=2\sin(x)\cos(x)\cdot \cos(x^2)+\sin(x)^2\cdot
\big(-\sin(x^2)\big)\cdot 2x\\
&=2\sin(x)\big(\cos(x)\cos(x^2)-x\sin(x)\sin(x^2)\,\big)\,,
\end{aligned}\]
avec \(D(f)=D(f')=\mathbb{R}\).
Cette fonction doit se récrire ainsi:
\[
f(x)= \exp(x^x\log(x))=\exp(\log(x)\exp(x\log(x)))\,.
\]
On a
\(D(f)=D(f')=\mathbb{R}_+^*\),
et
\[
f'(x)=f(x)\bigl(
\tfrac1x\exp(x\log(x))+\log(x)\exp(x\log(x))(\log(x)+x\tfrac1x)
\bigr)\,,
\]
que l'on peut écrire sous forme plus compacte:
\[
f'(x)=x^{(x^x)}\bigl(x^{x-1}+x^x\log(x)(\log(x)+1)\bigr)
\]
Par définition,
\[
f(x)=\sin(x)^{\sin(x^2)}:= e^{\sin(x^2)\log(\sin(x))}\,,
\]
donc
\[
D(f)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,\sin(x)\gt 0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}]2k\pi,\pi+2k\pi[\,,
\]
\[\begin{aligned}
f'(x)
&=e^{\sin(x^2)\log(\sin(x))} (\sin(x^2)\log(\sin(x)))'\\
&=\sin(x)^{\sin(x^2)}
\left(2x\cos(x^2)\log(\sin(x))+\sin(x^2)\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)\,.
\end{aligned}\]
On a donc \(D(f')=D(f)\).