Soit \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to \mathbb{R}\) définie par
\[
f(x)=\frac{1}{1-x}\,,\qquad x\neq 1\,.
\]
Montrer, par récurrence sur \(n\geqslant 1\), que
\[
f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,.
\]
Pour la première dérivée,
\[\begin{aligned}
f^{(1)}(x)
=f'(x)
&=\left(\frac{1}{1-x}\right)'\\
&=\bigl((1-x)^{-1}\bigr)'\\
&=(-1)(1-x)^{-2}(1-x)'\\
&=\frac{1}{(1-x)^2}\\
&=\frac{1!}{(1-x)^{1+1}}
\end{aligned}\]
Donc la formule est vérifiée pour \(n=1\).
Si on suppose maintenant que la formule est vraie pour un certain \(n\),
calculons
\[\begin{aligned}
f^{(n+1)}(x) =(f^{(n)}(x))'
&=\left(\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'\\
&=n!\bigl((1-x)^{-n-1}\bigr)'\\
&=n!(-n-1)(1-x)^{-n-2}(1-x)'\\
&=n!(-1)(n+1)(1-x)^{-(n+2)}(-1)\\
&=\frac{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}}\,,
\end{aligned}\]
et donc la formule est aussi vraie pour \(n+1\).
Si nécessaire, on trouvera la version en anglais
ici.