Exercice 10-06
Montrer que la fonction \(f(x)=e^{-x/2}\sin(\sqrt{11}x/2)\) satisfait
\[ f''(x)+f'(x)+3f(x)=0\qquad\forall x\in\mathbb{R}\]
C'est une simple vérification, par calcul direct.
Remarque:
Une équation du type
\[
f''(x)+b f'(x)+c f(x)=0
\]
est appelée
équation différentielle linéaire du deuxième ordre
homogène à coefficients constants.
Ce type d'équation est étudié en Analyse II.
On dérive une fois,
\[\begin{aligned} f'(x)
&=(-\tfrac12)e^{-x/2}\sin(\sqrt{11}x/2)
+e^{-x/2}\tfrac{\sqrt{11}}{2}\cos(\sqrt{11}x/2)\\
&=e^{-x/2}
\Bigl(
-\tfrac12\sin(\sqrt{11}x/2)
+\tfrac{\sqrt{11}}{2}\cos(\sqrt{11}x/2)
\Bigr)
\end{aligned}\]
puis une deuxième,
\[\begin{aligned} f''(x)
&=(-\tfrac12)e^{-x/2}
\Bigl(
-\tfrac12\sin(\sqrt{11}x/2)
+\tfrac{\sqrt{11}}{2}\cos(\sqrt{11}x/2)
\Bigr)\\
&\phantom{dddddd}+e^{-x/2}
\Bigl(
-\tfrac12\tfrac{\sqrt{11}}{2}\cos(\sqrt{11}x/2)
-\tfrac{\sqrt{11}^2}{2^2}\sin(\sqrt{11}x/2)
\Bigr)\\
&=e^{-x/2}
\Bigl(
-\tfrac52\sin(\sqrt{11}x/2)
-\tfrac{\sqrt{11}}{2}\cos(\sqrt{11}x/2)
\Bigr)
\end{aligned}\]
Ceci donne
\[
f''(x)+f'(x)=-\tfrac{6}{2}e^{-x/2}\sin(\sqrt{11}x/2)=-3f(x)\,.
\]