Exercice 09-13
Soit \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dérivable. Montrer que
- si \(f\) est paire, alors \(f'\) est impaire,
- si \(f\) est impaire, alors \(f'\) est paire,
On démontrera ces propriétés
uniquement à l'aide de la définition de dérivée.
a) Supposons \(f\) paire. Alors \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\), et donc
\(f(-x+h)=f(x-h)\) pour tous
\(x,h\in \mathbb{R}\). Calculons alors
\[\begin{aligned}
f'(-x)&
=\lim_{h\to 0}
\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}\\
&=\lim_{h\to 0}
\frac{f(x-h)-f(x)}{h}\\
&=-\lim_{h\to 0}
\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}\\
&=-\lim_{t\to 0}
\frac{f(x+t)-f(x)}{t}=-f'(x)\,.
\end{aligned}\]
Dans l'avant-dernière ligne, on a posé \(t:=-h\). Comme \(h\to 0\), on a aussi
\(t\to 0\). Ceci montre que \(f'\) est impaire.
b) On montre de même que si \(f\) est impaire alors sa dérivée est paire.