Exercice 10-04
Considérer
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^{2}-x+3\,, & x\leqslant 1\\
\alpha x + \beta\,, & x\gt 1\,,
\end{cases}
\]
et déterminer
\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tels que la fonction \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
soit dérivable partout.
Considérons, comme ici,
une fonction obtenue par recollement de deux autres fonctions, en un point
\(x_0\):
\[
f(x)=
\begin{cases}
g(x)& x\leqslant x_0\,,\\
h(x)& x\gt x_0\,.\\
\end{cases}
\]
En dehors de \(x_0\), \(f\) ''hérite'' de la régularité (continuité,
dérivabilité, etc.) de \(g\) et de \(h\),
mais au point de recollement,
les fonctions \(g\) et \(h\) ont beau être chacune très régulière, cela ne
garantit rien sur la régularité de \(f\).
Donc on devra analyser \(f\) au point \(x_0\) à l'aide des outils vu au cours
(limites et dérivées latérales, etc.)
On a vu un exemple très semblable
ici.
Sur \(]-\infty,1[\), \(f(x)=x^2-x+3\) est dérivable; sur \(]1,+\infty[\),
\(f(x)=\alpha x+\beta\) est dérivable, peu importe la valeur de
\(\alpha\) et \(\beta\).
Il reste donc à étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0=1\).
Une condition nécessaire pour la dérivabilité en \(x_0=1\) est la continuité en ce
point, c'est-à-dire,
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=f(1)\,.
\]
Or
\[
\lim_{x\to 1^-}f(x)=3=f(1) \,,\qquad
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\alpha+\beta\,,
\]
donc \(f\) est continue en \(x_0=1\) si et seulement si \(\alpha+\beta=3\).
Ensuite, on sait que
\(f\) est dérivable en \(x_0=1\) si et seulement si
les dérivées à gauche et à droite en ce point sont égales. Or
\[\begin{aligned}
f'_{-}(1)
&=\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\
&=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-x+3-3}{x-1}
=\lim_{x\to 1^-}x=1\,,
\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}
f'_{+}(1)&=\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\
&=\lim_{x\to 1^+}\frac{\alpha x+\beta -3}{x-1}\\
&=\lim_{x\to 1^+}\frac{\alpha x -\alpha
+\overbrace{\alpha +\beta}^{=3}-3}{x-1}\\
&=\lim_{x\to 1^+}\frac{\alpha (x -1)}{x-1}=\alpha,
\end{aligned}\]
Donc \(f'_{-}(1)=f'_{+}(1)\) si et seulement si \(\alpha=1\).
De là, on déduit que \(\beta=3-\alpha=2\).
Ainsi la fonction \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\;\)
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^{2}-x+3\,, & x\leqslant 1\\
x + 2\,, & x>1
\end{cases}
\]
est dérivable sur \(\mathbb{R}\).