Cette fonction est discontinue en tout point \(x\) de la forme \(\pm\frac{1}{n}\), elle n'est donc pas non plus dérivable en ces points. En tout point \(x\neq 0\) qui n'est pas de cette forme, elle est dérivable et sa dérivée est nulle. Il reste à voir en \(x=0\). Pour ce faire, posons \[J_n:=[-\tfrac{1}{n},-\tfrac{1}{n+1}[ \,\,\cup\,\, ]\tfrac{1}{n+1},\tfrac{1}{n}]\,.\] Remarquons que si \(x\in J_n\), alors \[ \frac{1}{n+1}\lt |x|\leqslant \frac{1}{n} \] On a donc, pour tout \(x\in J_n\), \[ \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right| =\frac{1/n^2}{|x|}\leqslant \frac{1/n^2}{1/(n+1)}=\frac{n+1}{n^2}\,. \] Cette dernière tend vers zéro lorsque \(n\to\infty\).
En prenant la limite \(x\to 0\), \(x\) traverse des ensembles \(J_n\) avec des \(n\) de plus en plus grands, donc par le théorème des deux gendarmes, \[ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\,. \] Donc \(f\) est dérivable en \(x=0\), et sa dérivée en ce point est nulle.