Rappelons que
\[
\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\,.
\]
On a
\[\begin{aligned}
f'(x)
&=\frac{3}{5}\left(2x^4+e^{-(4x+3)}\right)^{-2/5}\left(8x^3-4
e^{-(4x+3)}\right)\\
&=\dfrac{12\left(2x^3-e^{-(4x+3)}\right)}{5\sqrt[5]{\left(
2x^4+e^{-(4x+3)}\right)^2}}
\end{aligned}\]
Ici,
\(D(f)=D(f')=\mathbb{R}\). Remarquons que le
dénominateur de \(f'\) ne s'annule jamais parce que
\(e^{-(4x+3)}>0\) et \(x^4\geqslant 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
On peut utiliser la formule de dérivation pour un logarithme vue au cours,
ou alors on
transforme d'abord le logarithme de base \(3\) en base \(e\):
\[
f(x)=\log_3\big(\cosh(x)\big)=\dfrac{\log\big(\cosh(x)\big)}{\log(3)}\,,
\]
ce qui donne
\[
f'(x)=\frac{\sinh(x)}{\log(3)\cosh(x)}=\frac{\tanh(x)}{\log(3)}\,,
\]
et \(D(f)=D(f')=\mathbb{R}\).
En observant que \(f(x)=\sin(x)\log(4)\,e^{\cos(4x)}\), on obtient
\[\begin{aligned}
f'(x)
=&\log(4)\cos(x)\,e^{\cos(4x)}+\log(4)\sin(x)\big(-4\sin(4x)\big)
e^{\cos(4x)}\\
=&\log(4)\,e^{\cos(4x)}\Big(\cos(x)-4\sin(x)\sin(4x)\Big).
\end{aligned}\]
\(D(f)=D(f')=\mathbb{R}\)