Soit \(f\) une fonction dérivable dans un voisinage de \(x_0\in \mathbb{R}\), telle que
\(f'(x_0)=0\). Si \(f''(x_0)\) existe et est non-nulle, montrer que
- \(f''(x_0)\gt 0\) implique que \(x_0\) est un minimum local.
- \(f''(x_0)\lt 0\) implique que \(x_0\) est un maximum local.
Ce résultat est appelé le
critère de la dérivée seconde: lorsqu'on a un
point où la dérivée s'annule, on peut savoir si ce point est un minimum ou un
maximum local en évaluant simplement la dérivée seconde (lorsqu'elle existe) en
ce point.
Par définition, \(f''(x_0)\) est égal à
\[
f''(x_0)=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}
=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}
\]
...
Savoir que \(f''(x_0)\gt 0\) implique qu'on connaît le signe de
\(\frac{f'(x)}{x-x_0}\), dans un petit voisinage de \(x_0\).
On montre le premier cas: \(f''(x_0)\gt 0\). (Le deuxième se traite de la même
façon.)
Soit \(d:=f''(x_0)\gt 0\). Puisque \(f'(x_0)=0\), on a que
\[
d=\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{x-x_0}
\]
Soit \(\varepsilon\gt 0\) suffisamment petit (\(0\lt \varepsilon\lt d\)). Alors il existe
\(\delta\gt 0\) tel que
\[
d-\varepsilon\leqslant \frac{f'(x)}{x-x_0}\leqslant d+\varepsilon\qquad \forall x\in
[x_0-\delta,x_0+\delta].
\]
Ceci implique en particulier que
- \(f'(x)\leqslant (d+\varepsilon)(x-x_0)\leqslant 0\) pour tout \(x\in [x_0-\delta,x_0]\), et que
- \(f'(x)\geqslant (d-\varepsilon)(x-x_0)\geqslant 0\) pour tout \(x\in [x_0,x_0+\delta]\).
Ainsi, \(f\) est décroissante sur
\([x_0-\delta,x_0]\), croissante sur \([x_0,x_0+\delta]\).
Donc \(x_0\) est un minimum local.