Exercice 10-01
Soit \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(f(x_0)=2\), et si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors \(f'(x_0)=0\).
  2. Si \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(a\in \mathbb{R}\), alors \(f\) est dérivable en \(a\).
  3. Si \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), alors \(g(x)=\sqrt{f(x)^2}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
  4. Si \(f(x)=x^2-2x\), alors \((f \circ f)'(1)=0\).
  5. La fonction \(f(x):= |\cos(x)|\) est dérivable en \(x_0=0\).
  6. ⚡ Si \(f\) est dérivable en \(a \in\mathbb{R}\), alors il existe \(\delta>0\) tel que \(f\) est continue sur \(]a-\delta, a+\delta[\,\).
Ces questions testent la compréhension de plusieurs points relatifs à la notion de dérivabilité.

Avant d'essayer de répondre, on pourra s'inspirer de l'approche utilisée dans le contre-exemple donné dans le point 6 du premier quiz qui se trouve ici.

  1. FAUX. Il existe une infinité de fonctions dérivables qui prennent la même valeur en un point, mais qui ont toutes des dérivées différentes en ce point. Quelques exemples, en \(x_0=0\):
    • Si \(f(x)=x+2\), alors \(f(0)=2\), et \(f'(0)=1\).
    • Si \(f(x)=x^2+2\), alors \(f(0)=2\), et \(f'(0)=0\).
    • Si \(f(x)=\frac{2}{x+1}\), alors \(f(0)=2\), et \(f'(0)=-2\).

    Remarque: Il est important de saisir que pour connaître la dérivée d'une fonction en un point \(x_0\), il ne suffit pas de connaître la valeur de \(f\) en ce point: il faut aussi connaître les valeurs de la fonction en des points en dehors de \(x_0\). C'est pour ça que pour pouvoir étudier la dérivabilité en un point, on a besoin que la fonction soit définie en ce point et dans son voisinage.

  2. FAUX: on a vu ici qu'il faut en plus que les dérivées latérales soient égales pour que la fonction soit dérivable en ce point.

    Comme contre-exemple, prendre simplement \(f(x)=|x|\): ses dérivées latérales en \(0\) existent mais elles ne sont pas égales, \[f'_-(0)=-1\,,\qquad f'_+(0)=+1\,.\]
  3. FAUX. En prenant \(f(x)=x\), on a \(g(x)=\sqrt{x^2}=|x|\) qui n'est pas dérivable en \(0\).
  4. VRAI. On a \(f'(1)=2-2=0\) et donc \[ (f\circ f)'(1)=f'(f(1))\cdot f'(1)=0\,. \]
  5. VRAI. Remarquons que si \(x\in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\), alors \(\cos(x)\geqslant 0\), et donc \[ f(x)=|\cos(x)|=\cos (x)\,, \] qui est dérivable en \(x_0=0\), et sa dérivée vaut \(\cos'(0)=-\sin(0)=0\).

    Remarque: La fonction \(|x|\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\), comme on sait, donc si on étudie la dérivabilité de \(|g(x)|\), proche d'un point \(x_0\) en lequel \(g(x_0)=0\), il faut prendre des précautions. Mais ici, \(g(x)=\cos(x)\), et on considère le point \(x_0=0\) en lequel \(g(0)=1\gt 0\).

  6. FAUX. (C'est déjà un quiz dans le polycopié.) Prendre par exemple \[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\in \mathbb{Q} \\ 0, & x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}\,. \] Cette fonction est continue en \(x=0\) parce qu'on a \[ 0 \leqslant f(x) \leqslant x^2 \] pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et donc par le théorème des deux gendarmes, \[ \lim\limits_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\,. \] Par contre \(f\) n'est pas continue ailleurs qu'en \(0\). En effet, soit \(x_0\in\mathbb{R}\), \(x_0\neq 0\). Par densité, on sait que pour tout \(n\geqslant 1\), le voisinage épointé \[ \big]x_0-\tfrac{1}{n},x_0+\tfrac{1}{n}\big[\setminus\{x_0\} \] contient au moins un rationnel \(a_n\), et au moins un irrationnel \(b_n\). On construit ainsi deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) qui tendent toutes les deux vers \(x_0\) quand \(n\to\infty\). Pourtant, puisque \(a_n\in \mathbb{Q}\) pour tout \(n\), \[ \lim_{n\to\infty} f(a_n) = \lim_{n\to\infty}a_n^2 = x_0^2 > 0 \] et puisque \(b_n\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) pour tout \(n\), \[ \lim_{n\to\infty} f(b_n)=0\,. \] On a donc deux suites qui tendent vers \(x_0\) mais telles que \[ \lim_{n\to \infty}f(a_n)\neq \lim_{n\to \infty}f(b_n)\,, \] donc \(f\) n'est pas continue en \(x_0\).

    Pour voir que \(f\) est dérivable en \(x=0\), observer que \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{f(x)}{x} = \begin{cases} x, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases} \] et ainsi \(-|x|\leqslant \frac{f(x)}{x} \leqslant |x|\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). De nouveau par le théorème des deux gendarmes on conclut que \[ f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 0\,. \]