Posons \[ f_k(x):= e^{x}- \Bigl\{ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{k}}{k!} \Bigr\}\,. \] On aimerait montrer que pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\), \[f_k(x)\geqslant 0\,\quad \forall x\geqslant 0\,.\] On a vu au cours que cette inégalité est vraie pour \(k=1\) Montrons que si l'inégalité est vraie pour \(k\), alors elle est vraie pour \(k+1\). Remarquons d'abord que \(f_{k+1}(0)=0\). Ensuite, en dérivant par rapport à \(x\), \[\begin{aligned} f_{k+1}'(x) &= e^{x}- \Bigl\{ 0+1+2\cdot \frac{x}{2!}x+\cdots +(k+1)\frac{x^{k}}{(k+1)!} \Bigr\}\\ &= e^{x}- \Bigl\{ +1+x+\cdots +\frac{x^{k}}{k!} \Bigr\}\\ &=f_k(x)\,, \end{aligned}\] qui est \(\geqslant 0\) par l'hypothèse de récurrence. Comme conséquence du TAF (voir la Conséquence 1), \(f_{k+1}\) est donc croissante sur \([0,+\infty[\), ce qui implique \(f_{k+1}(x)\geqslant f_{k+1}(0)=0\).