Exercice 11-01
Montrer que si une fonction \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) est continue et dérivable sur \(]a,b[\), non-constante, et satisfait \(f(a)=f(b)\), alors il existe au moins un point \(c_+\in ]a,b[\) où sa dérivée est strictement positive, et un point \(c_-\in ]a,b[\) où sa dérivée est strictement négative.

...c'est qu'il existe au moins un point \(x_0\) où \(f(x)\) n'est pas égal à \(f(a)\) (et \(f(b)\)).

Considérer \([a,x_0]\) et \([x_0,b]\).

Si \(f(a)=f(b)=H\) et si \(f\) n'est pas constante, alors il existe au moins un point \(x_0\in ]a,b[\) où \(f(x_0)\neq H\).

Sans perte de généralité, supposons que \(f(x_0)>H\). En appliquant le TAF sur \([a,x_0]\), on déduit qu'il existe \(c_+\in ]a,x_0[\) tel que \[ f'(c_+)=\frac{f(x_0)-H}{x_0-a}>0\,. \] En appliquant le TAF sur \([x_0,b]\), on déduit qu'il existe \(c_-\in ]x_0,b[\) tel que \[ f'(c_-)=\frac{H-f(x_0)}{b-x_0}<0\,. \]