Exercice 09-08
Trouver, s'il existe, le prolongement par continuité de la fonction \(f\) au point \(x_0\), ou alors montrer que \(f\) ne peut pas être prolongée par continuité en \(x_0=1\).
  1. \(f\colon [0,1[\cup]1,\infty[\: \to\mathbb{R}\), définie par \[ f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3}}\,. \]
  2. \(f\colon ]1,2]\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)=\frac{x(x-1)\tan(x-1)}{x^3-3x+2}\,. \]
La notion de prolongement par continuité vue au cours a pour but de vouloir étendre le domaine d'une fonction continue sur un domaine \(I\setminus\{x_0\}\), en la rendant continue sur \(I\). C'est ce qu'il s'agit de faire dans 1, puisque le point \(x_0=1\) est à l'intérieur de l'intervalle.

Dans 2., le point \(x_0=1\) est sur le bord de l'intervalle, mais le prolongement par continuité se définit de la même façon: Supposons que \(f\) est continue en tout point \(x_0\in ]a,b[\). Si \(L=\lim_{x\to a^+}f(x)\) existe, alors on peut peut définir la prolongée de \(f\) par continuité, par \(\widetilde{f}:[a,b[\to\mathbb{R}\), \[ \widetilde{f}(x):= \begin{cases} f(x)&\text{ si }x\in ]a,b[\,,\\ L&\text{ si }x=a\,,\\ \end{cases} \] qui est continue en tout \(x_0\in ]a,b[\), et continue à droite en \(x_0=a\).
  1. Comme l'expression de \(f\) n'est pas définie en \(x=1\), on doit calculer sa limite en ce point. Pour \(x\neq 1\), on peut écrire, en utilisant deux fois le conjugué: \[\begin{aligned} \lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3}} &=-\frac{1}{2} \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x}}\\ &= -\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{4} \end{aligned}\] et donc le prolongement par continuité de \(f\) est \(\widetilde{f}\colon [0,\infty[\:\to\mathbb{R} \), donnée par \[ \widetilde{f}(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3}}~, & x\neq 1 \\[5mm] -\dfrac{\sqrt{6}}{4}~, & x=1 \end{cases} \]

    Remarque: Le prolongement \(\widetilde{f}\colon [0,\infty[\:\to\mathbb{R} \) peut aussi s'exprimer par: \[ \widetilde{f}(x)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x}}. \]

  2. Comme le dénominateur de \(f\) s'écrit \(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\) on a \[\begin{aligned} \lim_{x\to 1^+} f(x) &=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)\tan(x-1)}{x^3-3x+2}\\ &=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)\tan(x-1)}{(x-1)^2(x+2)}\\ &=\lim_{x\to 1^+}\left(\frac{x}{x+2} \cdot \frac{\tan(x-1)}{x-1}\right)\\ &=\lim_{x\to 1^+}\frac{x}{x+2} \cdot\lim_{x\to 1^+} \frac{\tan(x-1)}{x-1}\\ &= \frac{1}{3}\cdot \lim_{x\to 1^+} \left(\frac{\sin(x-1)}{(x-1)}\cdot \frac{1}{\cos(x-1)}\right)\\ &= \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3} \end{aligned}\] (La décomposition en produit de deux limites à la deuxième ligne est possible parce que les deux limites existent.) Ainsi le prolongement par continuité de \(f\) est \(\widetilde{f}\colon [1,2]\to\mathbb{R}\), \[ \widetilde{f}(x)= \begin{cases} \dfrac{x(x-1)\tan(x-1)}{x^3-3x+2}, & 1\lt x\leqslant 2\,, \\ \frac{1}{3}, & x=1 \end{cases} \]